Συνευθειακότητα παράλληλη στη διχοτόμο

[sakis1963]

2024.09.27 mathematica.jpg (42.54 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Ας είναι τρίγωνο με , διχοτόμος και σημεία των αντίστοιχα.

Δείξτε ότι :

, τότε και μόνο τότε αν, το σημείο τομής των και , ανήκει στην παράλληλη προς την που διέρχεται από το , συμμετρικό του ως προς το μέσον της

[rek2]

Να μία συνθετική λύση. Θα κάνω χρήση της πρότασης:

Αν σε ένα κυρτό τετράπλευρο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, τότε τα μέσα των δύο άλλων πλευρών ορίζουν ευθεία παράλληλη στη διχοτόμο των ευθειών και

( έχει συζητηθεί εδώ και είναι ευρέως γνωστή)

Ας είναι , κατά σειρά, τα μέσα των

Για το ευθύ θα δείξω, ότι το σημείο , της τομής των και , ανήκει στην

Από την ευθεία Newton- Gauss του τετραπλεύρου τα σημεία είναι συνευθειακά.

Από την παραπάνω πρόταση η ευθεία είναι παράλληλη στις και . Επειδή, όμως, το είναι μέσο του η είναι μεσοπαράλληλη των και
Φορσέ, τώρα, αφού το είναι μέσο του το άκρο είναι σημείο της .

Το αντίστροφο είναι απλό με άτοπο.