Επί της Σπασμένης Χορδής του Αρχιμήδη

sakis1963 · #1

: 2024.06.16 Archimedes' broken chord mathematica.jpg (41.18 KiB) Προβλήθηκε 749 φορές

Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD

, ισχύει

Ας είναι

η ορθή προβολή του

στην

και

το μέσον της.

Δείξτε ότι:

i. CE=CD+BE

ii.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Από τα δυο θεωρήματα του Πτολεμαίου λαμβάνουμε για τη μια από τις διαγώνιες
$AC^{2}=(AB\cdot CD+BC\cdot AD)\dfrac{AB\cdot AD+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+AD\cdot CD}$
Οπότε για AB=AD

ο τελευταίος τύπος απλοποιείται στον
$AC^2=AB^2+BC\cdot CD$

Από το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο $\triangle ABC$ έχουμε
$AC^2-AB^2=2BC\cdot ME$

Οπότε συνδυάζοντας τις δυο τελευταίες βρίσκουμε $ME=\dfrac{CD}{2}$

Τέλος από αυτό προκύπτει εύκολα το άλλο ζητούμενο:
CE=CD+BE

$\Leftrightarrow CM+ME=CD+BM-ME$ $\Leftrightarrow ME=CD-EM$ $\blacksquare$

#3

Ας το δούμε απλούστερα με ... Αρχιμήδη.

Έστω η κάθετη

στην

που επανατέμνει τον κύκλο στο

. Έστω ακόμα

και

κάθετες στην AH.

Οι επόμενες ισότητες είναι προφανείς κι άμεσες και θα τις χρησιμοποιήσω, στην συνέχεια, χωρίς ιδιαίτερη αναφορά:

CD=BH, HK=lD, BE=KZ, EC=ZI.

Από το θεώρημα της σπασμένης χορδής BHK

του Αρχιμήδη είναι

BH+HZ=ZD

Αφαιρούμε και από τα δύο μέλη τα ίσα HK, ID

και παίρνουμε BH+KZ=ZI

ή το ζητούμενο CD+BE=CE

.

Για το δεύτερο ζητούμενο, αρκεί, σε αυτό που μόλις αποδείξαμε, να αντικαταστήσουμε:

EC=EM+MC=EM+MB=EM+(EM+EB)=2EM+BE

Μπορεί, βέβαια, να αποδειχτεί χωρίς τις βοηθητικές κάθετες, με το θεώρημα της σπασμένης χορδής BCD

και πράξεις ευθυγράμμων τμημάτων. (Αν N το μέσο του τόξου BCD και P η προβολή του στην BC, τότε ME=MP κ.λπ.)

S.E.Louridas · #4

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2024 10:17 pm
Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο , ισχύει
Ας είναι η ορθή προβολή του στην και το μέσον της.
Δείξτε ότι: i. , ii.

i) Παρατηρούμε ότι:

$AF \bot CD \Rightarrow \vartriangle ABE = \vartriangle ADF \Rightarrow BE = DF,\;\,AE = AF \Rightarrow CE = CF = CD + BE,$

καθότι επιπλέον τα σημεία A, E, C, D

είναι ομοκυκλικά, οπότε η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle DCB.$

ii) Από το απλό θεώρημα Maclaurin παίρνουμε άμεσα:

$\displaystyle{CE = CF = \frac{{CB + CD}}{2} \Rightarrow EM + \frac{{BC}}{2} = \frac{{BC}}{2} + \frac{{CD}}{2} \Rightarrow CD = 2EM.}$

: kal.png (58.7 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Επί της Σπασμένης Χορδής του Αρχιμήδη

Επί της Σπασμένης Χορδής του Αρχιμήδη

Re: Επί της Σπασμένης Χορδής του Αρχιμήδη

Re: Επί της Σπασμένης Χορδής του Αρχιμήδη

Re: Επί της Σπασμένης Χορδής του Αρχιμήδη

Μέλη σε σύνδεση