Ισοσκελές τρίγωνο και μεσοκάθετος τμήματος

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Ισοσκελές τρίγωνο .png

Δίνονται, ισοσκελές τρίγωνο (), σημείο πάνω στην πλευρά

και σημείο πάνω στην πλευρά έτσι, ώστε .

(α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου

κύκλου του τριγώνου .

(β) Το τμήμα διχοτομείται από την ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των

και αντίστοιχα.

Θεωρούμε το ύψος και με μέσον της

Λόγω και του εγγράψιμμου όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και το είναι εγγράψιμμο ,άρα



Έτσι τα τρίγωνα προφανώς είναι ίσα (Π-Γ-Π) ,επομένως

άρα περίκεντρο του τριγώνου

Επειδή και μέσον της θα είναι και μέσον της κι επειδή

το θα είναι μέσον της

ισοσκελές τρίγωνο και μεσοκάθετος.png (28.25 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

[giannimani]

isosceles_midperpend.png (55.51 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

Από το θεωρούμε την παράλληλη της που τέμνει τη βάση στο .Τότε το είναι παραλληλόγραμμο
(προκύπτει άμεσα, εφόσον λόγω της παραπάνω παραλληλίας και του αρχικού ισοσκελούς τριγώνου, είναι
, δηλαδή, ). Επομένως, οι διαγώνιοί του και διχοτομούνται.
Έστω το κοινό τους μέσο, που προφανώς ανήκει στην ευθεία .
Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας του ισοσκελούς τριγώνου , η οποία τέμνει
τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο σημείο . Θα αποδείξουμε ότι το είναι το περίκεντρο του .
Αρκεί (Προφανώς , η μεσοκάθετος της ).
Πράγματι, τα τρίγωνα και είναι ίσα, εφόσον

• (υπόθεση)

• (χορδές ίσων τόξων του κύκλου , εφόσον διχοτόμος)

• (το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο ).

Επομένως, . Από το ισοσκελές τρίγωνο η προφανώς μεσοκάθετος του .

[george visvikis]

Ισοσκελές τρίγωνο .png

Δίνονται, ισοσκελές τρίγωνο (), σημείο πάνω στην πλευρά

και σημείο πάνω στην πλευρά έτσι, ώστε .

(α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου

κύκλου του τριγώνου .

(β) Το τμήμα διχοτομείται από την ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των

και αντίστοιχα.

α) Η μεσοκάθετη της τέμνει το ύψος στο Αρκεί να δείξω ότι το είναι το περίκεντρο του τριγώνου.

Επειδή και το θα είναι εγγράψιμο, άρα

οπότε τα τρίγωνα είναι ίσα και

ΙΤ και ΜΤ.png (18.34 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές

β) Θεωρώ σημείο της ώστε Το είναι μέσο και της κι επειδή

η θα διέρχεται από το μέσο του

[Doloros]

Ισοσκελές τρίγωνο .png

Δίνονται, ισοσκελές τρίγωνο (), σημείο πάνω στην πλευρά

και σημείο πάνω στην πλευρά έτσι, ώστε .

(α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του διέρχεται από το κέντρο του περιγεγραμμένου

κύκλου του τριγώνου .

(β) Το τμήμα διχοτομείται από την ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των

και αντίστοιχα.

Φέρνω τα αποστήματα που προφανώς είναι ίσα . Επειδή ( μισά των ίσων πλευρών ,)

επιπλέον δε , θα είναι : και άρα , .

gotsis me isosleles.png (47.53 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Συνεπώς το ισαπέχει των , οπότε ανήκει στην μεσοκάθετό του . Έστω η προβολή του στην .

Οι κύκλοι με διαμέτρους τα είναι ίσοι. Επειδή , τα σημεία : ανήκουν σε μια ευθεία.