Γνωστό σε κάποιους , αλλά καλό πρόβλημα Γεωμετρίας

#1

Μια και πλησιάζουν οι διαγωνισμοί, προτείνω ένα ωραίο θεωρώ θέμα για μαθητές Λυκείου.

Δίνεται μη ισοσκελές τρίγωνο ADE

με τη γωνία

ίση με

.Στις πλευρές του AD,AE

υπάρχουν αντίστοιχα σημεία B,C

, ώστε

.

Ο κύκλος (A,C,D)

τέμνει το τμήμα

στο

. Να αποδείξετε ότι :

(α) Τα σημεία A,B,N,E

είναι ομοκυκλικά,

(β) Η

είναι διχοτόμος της γωνίας

.

: geometry.PNG (19.18 KiB) Προβλήθηκε 964 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 19, 2023 6:16 pm
Μια και πλησιάζουν οι διαγωνισμοί, προτείνω ένα ωραίο θεωρώ θέμα για μαθητές Λυκείου.

Δίνεται μη ισοσκελές τρίγωνο με τη γωνία ίση με .Στις πλευρές του υπάρχουν αντίστοιχα σημεία , ώστε .

Ο κύκλος τέμνει το τμήμα στο . Να αποδείξετε ότι :

(α) Τα σημεία είναι ομοκυκλικά,

(β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας .

geometry.PNG

Έστω

η τομή των DC,EB

Είναι $\angle ABC= \angle 2 D_{1}$ και $\angle ACB= 2 B_{1}$ άρα $120^0=2( D_{1}+B_{1}) \Rightarrow D_{1}+B_{1})=60^0$

επομένως $\angle BOC=120^0$ άρα ABOC

εγγράψιμμο

Είναι $\angle DAE=angleCNE= \angle COE=60^0$ άρα CONE

εγγράψιμμο οπότε προφανώς οι μπλε

γωνίες είναι ίσες,άρα και BOND

εγγράψιμμο,συνεπώς

$\angle BND=60^0=\angle DAE$ επομένως A,B,N,E

ομοκυκλικά

Επειδή $\angle A{1}= \angle C_{1}= \angle D_{1} \Rightarrow AO=OD$

Επειδή $\angle A_{2}= \angle B_{2}= \angle E_{1} \Rightarrow AO=OE$

Έτσι, $\angle D_{2}=\angle E_{2}= \angle B_{2}$ συνεπώς η

είναι διχοτόμος της γωνίας DAE

Παρατήρηση: Οι κύκλοι κόκκινου χρώματος είναι ίσοι

: geometry.png (87.55 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές

Henri van Aubel · #3

i) Είναι $\angle ANE=180^\circ-\angle AND=180^\circ-\angle ACD=\angle DCE=60^\circ+\angle BDC\left ( 1 \right )$

και $\displaystyle \angle ABE=\angle ABC+\frac{\angle ACB}{2}=\angle ABC+\frac{120^\circ-\angle ABC}{2}=60^\circ+\frac{\angle ABC}{2}\left ( 2 \right )$

Αφού $\displaystyle \angle BDC=\frac{\angle ABC}{2}$ , έπεται ότι $\angle ANE=\angle ABE$ και συνεπώς το ABNE

είναι εγγράψιμο.

ii) Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα ADNC

και

, είναι $\displaystyle \left\{\begin{matrix} DN\cdot DE=DB\cdot DA & & \\ EN\cdot ED=EC\cdot EA & & \end{matrix}\right. \Longrightarrow \frac{DN}{NE}=\frac{DB\cdot DA}{DB\cdot EA}=\frac{AD}{AE}\Longrightarrow AN$ διχοτόμος της γωνίας $\angle DAE.$

#4

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 20, 2023 2:27 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 19, 2023 6:16 pm
Μια και πλησιάζουν οι διαγωνισμοί, προτείνω ένα ωραίο θεωρώ θέμα για μαθητές Λυκείου.

Δίνεται μη ισοσκελές τρίγωνο με τη γωνία ίση με .Στις πλευρές του υπάρχουν αντίστοιχα σημεία , ώστε .

Ο κύκλος τέμνει το τμήμα στο . Να αποδείξετε ότι :

(α) Τα σημεία είναι ομοκυκλικά,

(β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας .

geometry.PNG
Έστω η τομή των

Είναι $\angle ABC= \angle 2 D_{1}$ και $\angle ACB= 2 B_{1}$ άρα $120^0=2( D_{1}+B_{1}) \Rightarrow D_{1}+B_{1})=60^0$

επομένως $\angle BOC=120^0$ άρα εγγράψιμμο

Είναι $\angle DAE=angleCNE= \angle COE=60^0$ άρα εγγράψιμμο οπότε προφανώς οι μπλε

γωνίες είναι ίσες,άρα και εγγράψιμμο,συνεπώς

$\angle BND=60^0=\angle DAE$ επομένως ομοκυκλικά

Επειδή $\angle A{1}= \angle C_{1}= \angle D_{1} \Rightarrow AO=OD$

Επειδή $\angle A_{2}= \angle B_{2}= \angle E_{1} \Rightarrow AO=OE$

Έτσι, $\angle D_{2}=\angle E_{2}= \angle B_{2}$ συνεπώς η είναι διχοτόμος της γωνίας

Παρατήρηση: Οι κύκλοι κόκκινου χρώματος είναι ίσοι

geometry.png

Εξαιρετικά ! Είναι θέμα από το ΙΡΑΝ 2010( 2ος γύρος).

Για ενημέρωση των φίλων μαθητών και μόνο, ας πούμε και τούτο : αφού το ΑΒΟC είναι εγγράψιμο, περνώντας στο αντίστοιχο πλήρες τετράπλευρο οι τέσσερις κύκλοι (ACD),(ABE),BOD),(COE) τέμνονται σε σημείο της DE .Αυτό το σημείο είναι προφανώς το

, βάσει της εκφώνησης για το

.Η παρατήρηση αυτή ας είναι μια άλλη ακόμα απόδειξη για το ερώτημα (α).
Σας ευχαριστώ πολύ !

Γνωστό σε κάποιους , αλλά καλό πρόβλημα Γεωμετρίας

Γνωστό σε κάποιους , αλλά καλό πρόβλημα Γεωμετρίας

Re: Γνωστό σε κάποιους , αλλά καλό πρόβλημα Γεωμετρίας

Re: Γνωστό σε κάποιους , αλλά καλό πρόβλημα Γεωμετρίας

Re: Γνωστό σε κάποιους , αλλά καλό πρόβλημα Γεωμετρίας

Μέλη σε σύνδεση