Είσαι το συμπλήρωμά μου

KARKAR · #1

: Είσαι το συμπλήρωμά μου.png (17.81 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο του ύψους

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

. Η κάθετη από το

προς την

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Βρείτε μια ιδιότητα του τριγώνου

ABC

, η οποία "υποχρεώνει" τις γωνίες $\theta$ και $\phi$ , να καταστούν συμπληρωματικές .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 24, 2023 8:58 am
Είσαι το συμπλήρωμά μου.pngΤο σημείο είναι το μέσο του ύψους του ορθογωνίου τριγώνου . Η κάθετη από το

προς την , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Βρείτε μια ιδιότητα του τριγώνου

, η οποία "υποχρεώνει" τις γωνίες $\theta$ και $\phi$ , να καταστούν συμπληρωματικές

Το τετράπλευρο

είναι εγγράψιμο άρα $\hat{BAK}=\phi$

$\hat{BAD}=\theta ,$

Εστω

$AT=TC,MT\perp AD\Rightarrow \hat{DAC}=\phi =\hat{ADT},\hat{DTC}=\theta ,\theta =2\phi, (1) ,\theta +\phi =90,(2),(1),(2)\Rightarrow \theta =60,\phi =30$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 24, 2023 8:58 am
Είσαι το συμπλήρωμά μου.pngΤο σημείο είναι το μέσο του ύψους του ορθογωνίου τριγώνου . Η κάθετη από το

προς την , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Βρείτε μια ιδιότητα του τριγώνου

, η οποία "υποχρεώνει" τις γωνίες $\theta$ και $\phi$ , να καταστούν συμπληρωματικές .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 24, 2023 8:58 am
Είσαι το συμπλήρωμά μου.pngΤο σημείο είναι το μέσο του ύψους του ορθογωνίου τριγώνου . Η κάθετη από το

προς την , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Βρείτε μια ιδιότητα του τριγώνου

, η οποία "υποχρεώνει" τις γωνίες $\theta$ και $\phi$ , να καταστούν συμπληρωματικές .

Αφού

ομοκυκλικά και $\angle SBP= \theta \Rightarrow \angle PAC= \theta$ επομένως η

περνά

από το μέσον

της

άρα $AN= \dfrac{a}{2}$

Είναι AM^2=MD^2=MP.MB

συνεπώς η

εφάπτεται του κύκλου (A,S,B,P)

άρα

$AD^2=DQ.DB\Rightarrow DC.DB=DQ.DB \Rightarrow DC=DQ \Rightarrow \angle ASB= \angle AQC= \theta$

Έτσι BS=BC=a

,

και το

είναι ισοσκελές τραπέζιο,επομένως AS=BP=b

και

$\angle APK= \theta \Rightarrow N,P,K,C$ ομοκυκλικά οπότε $x.b=y. \dfrac{a}{2} (1)$

Στο τρίγωνο DAC

με διατέμνουσα KMB

ο Μενέλαος δίνει

$\dfrac{DM}{MA} . \dfrac{x}{b-x} . \dfrac{a}{BD} =1 \Rightarrow \dfrac{x}{b-x} = \dfrac{BD}{a}= \dfrac{c^2}{a^2} \Rightarrow x= \dfrac{bc^2}{a^2+c^2} \Rightarrow x= \dfrac{bc^2}{b^2+2c^2}$

Από Πτολεμαίο στο ισοσκελές τραπέζιο $ASBP \Rightarrow ay+b^2=c^2 \Rightarrow y= \dfrac{c^2-b^2}{a}$

Έτσι $(1) \Rightarrow \dfrac{c^2-b^2}{2}= \dfrac{b^2c^2}{b^2+2c^2} \Leftrightarrow m^4+3m^2-2=0$ όπου $m=cot \theta = \dfrac{b}{c}$

Από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε δεκτή λύση $cot \theta = \dfrac{b}{c} = \sqrt{ \dfrac{ \sqrt{17} -3}{2} }$

: συμπληρωματικές γωνίες.png (25.19 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 24, 2023 8:58 am
Είσαι το συμπλήρωμά μου.pngΤο σημείο είναι το μέσο του ύψους του ορθογωνίου τριγώνου . Η κάθετη από το

προς την , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Βρείτε μια ιδιότητα του τριγώνου

, η οποία "υποχρεώνει" τις γωνίες $\theta$ και $\phi$ , να καταστούν συμπληρωματικές .

Καλημέρα η προηγούμενη ανάρτηση μου εχει ενα λάθος βιασύνης Ευχαριστώ τον Θανάση και Μιχάλη για τις επισημάνσεις .
Το τετράπλευρο ASBK

είναι εγγράψιμο σε κύκλο άρα $\hat{BSK}=\hat{BAK}=\phi ,$ και
$\hat{ABP}=\phi ,AP=PB=PC$ Στα ορθογώνια τρίγωνα ABC,BMD

από μετρικές σχέσεις είναι $\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{1}{2},(1),DP=\dfrac{a}{2}-DC=\dfrac{a^{2}-2b^{2}}{2a},\dfrac{DP}{PB}=\dfrac{c^{2}-b^{2}}{c^{2}+b^{2}},(2), MB^{2}=MD^{2}+DB^{2}=\dfrac{c^{2}(b^{2}+4c^{2})}{4(b^{4}+c^{4})},BK=\dfrac{BD^{2}}{MB},KM=\dfrac{MD^{2}}{MB},\dfrac{BK}{KM}=\dfrac{4c^{2}}{b^{2}},(3)$

Στο τρίγωνο BMD

με τέμνουσα $AKP,\dfrac{BK}{KM}.\dfrac{AM}{AD}.\dfrac{DP}{PB}=1,(*), (1),(2),(3),(*)\Rightarrow 2c^{4}=b^{4}+3b^{2}c^{2}\Leftrightarrow 2\dfrac{c^{2}}{b^{2}}= \dfrac{b^{2}}{c^{2}}+3,$ , $t=\dfrac{b}{c},t=cot\theta =\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-3}{2}}$

Είσαι το συμπλήρωμά μου

Είσαι το συμπλήρωμά μου

Re: Είσαι το συμπλήρωμά μου

Re: Είσαι το συμπλήρωμά μου

Re: Είσαι το συμπλήρωμά μου

Re: Είσαι το συμπλήρωμά μου

Μέλη σε σύνδεση