Τετράγωνο διαμέσου

KARKAR · #1

: Τετράγωνο διαμέσου.png (11.4 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

Στο τετράπλευρο OASB

, εκτός των δεδομένων στο σχήμα , είναι επίσης : $\tan\hat{O}=\dfrac{3}{4}$ .

Τα σημεία M , N

είναι τα μέσα των διαγωνίων του OS , AB

. Υπολογίστε το MN^2

.

Henri van Aubel · #2

Κάνουμε 1ο θ. διαμέσων στο MBA

οπότε $\displaystyle MN^{2}=\frac{2MA^{2}+2MB^{2}-BA^{2}}{4}=\frac{OS^{2}-BA^{2}}{4}\left ( \ast \right )$

Όμως $\displaystyle \cos \angle ASB=-\cos \angle AOB=-\frac{4}{5}\Rightarrow BA^{2}=45\Leftrightarrow BA=3\sqrt{5}$ και θέτοντας $\angle BOS=\vartheta$ παίρνουμε $\displaystyle \frac{\sin \vartheta }{\sin \angle ASB}=\frac{5\sin \vartheta }{3}=\frac{SB}{BA}=\frac{5}{3\sqrt{5}}\Leftrightarrow \sin \vartheta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{5}{OS}\Leftrightarrow OS=5\sqrt{5}$

Οπότε η σχέση $\left ( \ast \right )$ γίνεται $\displaystyle \boxed{MN^{2}=\frac{\left ( 5\sqrt{5} \right )^{2}-45}{4}=\frac{125-45}{4}=20}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 11, 2023 10:15 am
Τετράγωνο διαμέσου.pngΣτο τετράπλευρο , εκτός των δεδομένων στο σχήμα , είναι επίσης : $\tan\hat{O}=\dfrac{3}{4}$ .

Τα σημεία είναι τα μέσα των διαγωνίων του . Υπολογίστε το .

Το

είναι το κέντρο του κύκλου (O,A,S,B)

.

Επειδή $tan \theta = \dfrac{3}{4} \Rightarrow BN=3k,MN=4k \Rightarrow MB=R=5k$

$(ABS)= \dfrac{AB.BS.AS}{4R}= \dfrac{5.6k.2}{4.5k}=3$

Η κάθετη από το

προς την

τέμνει την

στο

και τον κύκλο στο

και είναι

άρα

$2(ABS)=6=2.BQ\Rightarrow BQ=3$ άρα (Π.Θ) QS=4

και

$3.QL=4.6\Rightarrow QL=8$ και με Π.Θ AL=OB=10

Με Π.Θ στο τρίγωνο OBS

παίρνουμε $100k^2=125 \Rightarrow k^2= \dfrac{5}{4}$ άρα $MN^2=16. \dfrac{5}{4}=20$

: τετράγωνο διαμέσου.png (27.67 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 11, 2023 10:15 am
Τετράγωνο διαμέσου.pngΣτο τετράπλευρο , εκτός των δεδομένων στο σχήμα , είναι επίσης : $\tan\hat{O}=\dfrac{3}{4}$ .

Τα σημεία είναι τα μέσα των διαγωνίων του . Υπολογίστε το .

Ας είναι $C\,\,,\,\,D$ τα σημεία τομής των $OA\,\,,\,\,BS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,OB\,\,,\,\,AS\,\,\,$ . Από την εύκολη κατασκευή του όλου σχήματος προκύπτει :

Τα , $\vartriangle CAS\,\,,\,\,\vartriangle DBS\,\,,\,\,\vartriangle CBO\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ANM\,\,$ είναι όμοια της μορφής : $\left( {3,4,5} \right)$ .

: Τετράγωνο διαμέσου.png (33.18 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

Αφού δε το πρώτο απ’ αυτά έχει προφανώς μήκη πλευρών : $AC = \dfrac{3}{2}\,\,,\,\,AS = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = \dfrac{5}{2}$

εύκολα προκύπτουν και τα μήκη των πλευρών των άλλων τριγώνων όπως φαίνονται στο σχήμα .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle ASO$ έχω : $O{S^2} = 2 + 121 = 125 = 25 \cdot 5$ και άρα στο $\vartriangle ANM \to \left( {3u,4u,5u} \right)$ με $\boxed{u = \frac{{\sqrt 5 }}{2}}$ έχω: $\boxed{M{N^2} = 25 \cdot \frac{5}{4} - 9 \cdot \frac{5}{4} = 20}$ .

Τετράγωνο διαμέσου

Τετράγωνο διαμέσου

Re: Τετράγωνο διαμέσου

Re: Τετράγωνο διαμέσου

Re: Τετράγωνο διαμέσου

Μέλη σε σύνδεση