Σταθερός λόγος

KARKAR · #1

: Σταθερός λόγος.png (12.49 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Το σημείο

κινείται στην διχοτόμο

του τριγώνου ABC

. Η

τέμνει την

στο σημείο

, ενώ

οι DT , SC

τέμνονται στο

. Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του

είναι το τμήμα

και υπολογίστε

τον λόγο $\dfrac{DQ}{QC}$ , αν το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο , με κάθετες πλευρές : AB=5

και :

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 19, 2023 9:09 am
Σταθερός λόγος.pngΤο σημείο κινείται στην διχοτόμο του τριγώνου . Η τέμνει την στο σημείο , ενώ

οι τέμνονται στο . Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του είναι το τμήμα και υπολογίστε

τον λόγο $\dfrac{DQ}{QC}$ , αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο , με κάθετες πλευρές : και : .

: Σταθερός λόγος_a.png (27.13 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

Η πολική του

ως προς τις ευθείες $BD\,\,,\,\,BC$ που είναι η

και δεν επηρεάζεται από την κίνηση του

.

Τελικά $\boxed{\dfrac{{DQ}}{{QC}} = \dfrac{{\dfrac{{130}}{{69}}}}{{\dfrac{{26}}{3} - \dfrac{{130}}{{69}}}} = \dfrac{5}{{18}}}$

: Σταθερός λόγος_b_.png (23.78 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές

Μετά το μεσημεριανό ύπνο θα γράψω αναλυτικά τη λύση.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 19, 2023 9:09 am
Σταθερός λόγος.pngΤο σημείο κινείται στην διχοτόμο του τριγώνου . Η τέμνει την στο σημείο , ενώ

οι τέμνονται στο . Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του είναι το τμήμα και υπολογίστε

τον λόγο $\dfrac{DQ}{QC}$ , αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο , με κάθετες πλευρές : και : .

: Σταθερός λόγος_1.png (8.85 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές

Η πολική του

ως προς τις ευθείες $BD\,\,,\,\,BC$ είναι η ευθεία που συνδέει το

με το

για οποιαδήποτε θέση του

επί της σταθερής διχοτόμου

.

Αν αυτή η ευθεία τμήση την

στο

, η δέσμη $\left( {BA,BQ\backslash BD,BC} \right)$ είναι αρμονική καθώς και η τετράδα $\left( {A,Q\backslash D,C} \right)$ .

Αφού τα σημεία A,D,C

είναι σταθερά θα είναι σταθερό και το

γιατί ισχύει :

$\dfrac{{DQ}}{{DA}} = \dfrac{{CQ}}{{CA}}$ , σχέση που μας εξασφαλίζει ότι το

διατρέχει το σταθερό

.

: Σταθερός λόγος_2.png (11.16 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές

Αν τώρα το $\vartriangle ABC$ είναι ορθογώνιο στο

και $AB = 5\,\,,\,\,AC = 12$ θα είναι BC = 13

.

Από το Θ. εσωτ. διχοτόμου , $DC = \dfrac{{AC \cdot BC}}{{BA + BC}} = \dfrac{{12 \cdot 13}}{{5 + 13}} = \dfrac{{26}}{3}$ και ομοίως DA=10/3

Θέτω

και από την αρμονική αναλογία , $\dfrac{{DQ}}{{DA}} = \dfrac{{CQ}}{{CA}} \Rightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{{10}}{3}}} = \dfrac{{\dfrac{{26}}{3} - x}}{{12}} \Rightarrow \dfrac{{3x}}{5} = \dfrac{{26 - 3x}}{{18}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{130}}{{69}}}$ συνεπώς: $\boxed{\dfrac{{DQ}}{{QC}} = \dfrac{{\dfrac{{130}}{{69}}}}{{\dfrac{{26}}{3} - \dfrac{{130}}{{69}}}} = \dfrac{5}{{18}}}$ .

Σταθερός λόγος

Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Re: Σταθερός λόγος

Μέλη σε σύνδεση