Επαφή , παραλληλία και ισότητα

KARKAR · #1

: Επαφή , παραλληλία και ισότητα.png (7.81 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

. Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και τμήμα : $PT \parallel AB$ . Πώς πρέπει να επιλεγεί το σημείο

, ώστε να προκύψει η ισότητα : PT=ST

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 04, 2023 1:50 pm
Επαφή , παραλληλία και ισότητα.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και τμήμα : $PT \parallel AB$ . Πώς πρέπει να επιλεγεί το σημείο , ώστε να προκύψει η ισότητα : ;

Ας είναι $\overline {AOB} = 2r$ και

η προβολή του

στην

. Θέτω : $DB = x\,\,,\,\,BS = y\,\,,\,\,ST = TP = u$ .

Το πρόβλημα θεωρείται λυμένο αν υπολογίσω ένα εκ των

ή

.

Η τετράδα , $\left( {A,B\backslash D,S} \right)$ είναι ως γνωστόν αρμονική έτσι ταυτόχρονα έχω :

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{BD}}{{BS}} = \frac{{AD}}{{AS}} \hfill \\ T{S^2} = SB \cdot SA \hfill \\ T{P^2} = {\left( {AB - 2DB} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{y} = \frac{{2r - x}}{{2r + y}} \hfill \\ {u^2} = y\left( {2r + y} \right) \hfill \\ {u^2} = {\left( {2r - 2x} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Επαφή παραλληλία και ισότητα_Κατασκευή.png (11.59 KiB) Προβλήθηκε 601 φορές

Η πρώτη γράφεται : $x\left( {r + y} \right) = ry\,\,\,\left( 1 \right)$ , ενώ από τις άλλες έχω: $y\left( {2r + y} \right) = 4{\left( {r - x} \right)^2}\,\,\left( 2 \right)$ .

Από το σύστημα των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ έχω: $\boxed{x = r\left( {1 - \sqrt {\frac{{\sqrt {17} - 1}}{8}} } \right)}$

Γράφω τον κύκλο $\left( {B,x} \right)$ , τέμνει την

στο

. Υψώνω κάθετη στο

επί την

που τέμνει το ημικύκλιο στο

.

Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

τέμνει την ευθεία

στο

. Η παράλληλη από το

στην

τέμνει ακόμα το ημικύκλιο στο

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 04, 2023 1:50 pm
Στην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και τμήμα : $PT \parallel AB$ . Πώς πρέπει να επιλεγεί το σημείο , ώστε να προκύψει η ισότητα : ;

Καλησπέρα..

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Επαφή, παραλληλία και ισότητα 1.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\displaystyle{(OMT)}$ και $\displaystyle{(OTS)}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{m}{R}=\frac{R}{R+k} \Rightarrow R+k=\frac{R^2}{m} \ \ (1) }$

Επίσης από το δεύτερο ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι:

$\displaystyle{(ST)^2=(SO)^2-(OT)^2 \Rightarrow 4m^2=(R+k)^2-R^2 \ \ (2) }$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{4m^4+m^2R^2-R^4=0 \ \ (3) }$

Η εξίσωση αυτή ως προς άγνωστο το $\displaystyle{m}$ λύνεται εύκολα και δίνει αρχικά:

$\displaystyle{m^2=\frac{R^2}{8}(\sqrt{17}-1) }$

και στη συνέχεια:

$\displaystyle{m=\frac{R}{2\sqrt{2}}\sqrt{\sqrt{17}-1} \ \ (4) }$

Από την (1) και την (4) μετά από πράξεις έχουμε τελικά:

$\displaystyle{k=\frac{R}{\sqrt{\sqrt{17}-1}}(2\sqrt{2}-\sqrt{\sqrt{17}-1}) \ \ (5) }$

Ο τύπος (5) μας δίνει και τη ζητούμενη θέση του σημείου $\displaystyle{S}$ . Σύμφωνα με τον

τύπο αυτό έγινε και το ανωτέρω σχήμα.

Κώστας Δόρτσιος

Σημείωση
Σε άλλο μήνυμα θα γίνει η γεωμετρική κατασκευή του τμήματος αυτού.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 04, 2023 1:50 pm
Επαφή , παραλληλία και ισότητα.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και τμήμα : $PT \parallel AB$ . Πώς πρέπει να επιλεγεί το σημείο , ώστε να προκύψει η ισότητα : ;

Έστω

η προβολή του

στη διάμετρο. Θέτω PT=ST=2x, TE=y,

οπότε

: Επαφή, παραλληλία, ισότητα.png (13.3 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {y^2} = x \cdot ES \hfill \\ \frac{x}{{ES}} = \frac{{{R^2}}}{{4{x^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {y^2} = \frac{{4{x^4}}}{{{R^2}}} \Leftrightarrow y = \frac{{2{x^2}}}{R}$

Αλλά, $\displaystyle {x^2} = {R^2} - {y^2},$ άρα $\displaystyle y = \frac{2}{R}({R^2} - {y^2}) \Leftrightarrow 2{y^2} + Ry - 2{R^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{R}{4}\left( {\sqrt {17} - 1} \right)}$

Κατασκευή: Σε απόσταση $\displaystyle y = \frac{R}{4}\left( {\sqrt {17} - 1} \right)$ από τη διάμετρο φέρνω παράλληλη σε αυτήν που αποκόπτει από το ημικύκλιο χορδή PT.

Στη συνέχεια φέρνω την εφαπτομένη στο

που τέμνει την

στο

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Επαφή , παραλληλία και ισότητα

Επαφή , παραλληλία και ισότητα

Re: Επαφή , παραλληλία και ισότητα

Re: Επαφή , παραλληλία και ισότητα

Re: Επαφή , παραλληλία και ισότητα

Μέλη σε σύνδεση