Παράγωγο τμήμα

KARKAR · #1

: Παράγωγο τμήμα.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές

Οι κύκλοι (B ,BA)

και

, τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου ABC

στα σημεία S , T

αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 24, 2023 9:42 am
Παράγωγο τμήμα.pngΟι κύκλοι και , τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου

στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Βρίσκω : $\left\{ \begin{gathered} \cos \theta = 1 - \frac{{{c^2}}}{{2{R^2}}} \hfill \\ \cos \omega = 1 - \frac{{{b^2}}}{{2{R^2}}} \hfill \\ AS = \frac{c}{R}\sqrt {4{R^2} - {c^2}} \hfill \\ AT = \frac{b}{R}\sqrt {4{R^2} - {b^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και $\cos {a_1} = - \cos \left( {\theta + \omega } \right) = \dfrac{{bc\sqrt {4{R^2} - {c^2}} \sqrt {4{R^2} - {b^2}} }}{{4{R^4}}} - \left( {1 - \dfrac{{{b^2}}}{{2{R^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{{{c^2}}}{{2{R^2}}}} \right)$

: παράγωγο τμήμα_1.png (22.47 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές

Οπότε από το $\vartriangle AST$ προκύπτει $\boxed{ST = \frac{{11}}{2}}$

Το

( ακτίνα του $\vartriangle ABC$ ) υπολογίζεται κατά τα γνωστά και είναι

$\boxed{R = \frac{{abc}}{{4\left( {ABC} \right)}} = \frac{{72\sqrt {455} }}{{455}}}$

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 24, 2023 9:42 am
Οι κύκλοι και , τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου

στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

: 2023-01-24_16-24-41.jpg (56.1 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Τα $\triangle BSK, \triangle CKT$ είναι όμοια.

Από θεώρημα Stewart στο $\triangle BCS:(3y + 4)(12y + 9) = 36 + 108y \Leftrightarrow y = \dfrac{{11}}{{12}}$

Από θεώρημα Πτολεμαίου στο $BCTS:6x + 12 = \left( {3 + \dfrac{{11}}{3}} \right) \cdot \left( {4 + \dfrac{{11}}{4}} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{2}$

#4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 24, 2023 4:26 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 24, 2023 9:42 am
Οι κύκλοι και , τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου

στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .
2023-01-24_16-24-41.jpgΤα $\triangle BSK, \triangle CKT$ είναι όμοια.

Από θεώρημα Stewart στο $\triangle BCS:(3y + 4)(12y + 9) = 36 + 108y \Leftrightarrow y = \dfrac{{11}}{{12}}$

Από θεώρημα Πτολεμαίου στο $BCTS:6x + 12 = \left( {3 + \dfrac{{11}}{3}} \right) \cdot \left( {4 + \dfrac{{11}}{4}} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{2}$

Γειά σου Μιχάλη με την άριστη λύση .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 24, 2023 9:42 am
Παράγωγο τμήμα.pngΟι κύκλοι και , τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου

στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

$\displaystyle S\widehat ET = \widehat A$ και με νόμο συνημιτόνου στο ABC

βρίσκω $\displaystyle \cos A = - \frac{{11}}{{24}}.$

: Παράγωγο τμήμα.ΚΑ.png (25.13 KiB) Προβλήθηκε 609 φορές

$\displaystyle CE \cdot CS = C{B^2} - 9 \Leftrightarrow CS = \frac{{27}}{4},ES = \frac{{11}}{4}$ και ομοίως $ET=\dfrac{11}{3}.$

Με νόμο συνημιτόνου τώρα στο SET,

παίρνω $\boxed{ST = \frac{{11}}{2}}$

Όσο για την συνευθειακότητα των S, E, C

και

έχει αποδειχθεί εδώ

Παράγωγο τμήμα

Παράγωγο τμήμα

Re: Παράγωγο τμήμα

Re: Παράγωγο τμήμα

Re: Παράγωγο τμήμα

Re: Παράγωγο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση