Διπλάσια γωνία 18

KARKAR · #1

: Διπλάσια γωνία 18.png (13.98 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

Το

είναι σημείο του τμήματος

και τα

τα κέντρα των ημικυκλίων με διαμέτρους AB=2R

και

αντίστοιχα . Ευθεία διερχόμενη από το

, τέμνει τα δύο τόξα στα σημεία T , P

.

Δείξτε ότι : $\phi=2\theta$ . Στην περίπτωση που είναι : $PK \perp AB$ , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 09, 2022 9:35 am
Διπλάσια γωνία 18.pngΤο είναι σημείο του τμήματος και τα τα κέντρα των ημικυκλίων με διαμέτρους

και αντίστοιχα . Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τα δύο τόξα στα σημεία .

Δείξτε ότι : $\phi=2\theta$ . Στην περίπτωση που είναι : $PK \perp AB$ , υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

$\displaystyle L\widehat KT = 2\theta.$ Αλλά, KL||OP

(τα τρίγωνα AKL, AOP

είναι ισοσκελή). Άρα, $\boxed{\varphi=2\theta}$

: Διπλάσια γωνία 18.png (16.84 KiB) Προβλήθηκε 605 φορές

Αν $PK \perp AB,$ τότε $\displaystyle \theta = P\widehat AK - 45^\circ \Rightarrow \tan \theta = \dfrac{{\dfrac{{PK}}{{AK}} - 1}}{{1 + \dfrac{{PK}}{{AK}}}} = \frac{{PK - AK}}{{PK + AK}} = \frac{{\sqrt {r(2R - r)} - r}}{{\sqrt {r(2R - r)} + r}}$

Μπορεί να πάρει και τη μορφή $\boxed{\tan \theta = \frac{{R - \sqrt {r(2R - r)} }}{{R - r}}}$

nickchalkida · #3

Επειδή $\dfrac{AC}{AP} = \dfrac{AT}{AE} = \dfrac{AS}{AB} = \dfrac{AK}{AO} = \dfrac{r}{R}$ ορίζεται ομοιοθεσία με κέντρο το

και λόγο $\dfrac{r}{R}$ .
Ως εκ τούτου $ACTS \sim APEB$ και οι ευθείες εξ ομοιόθετων σημείων παράλληλες, άρα $PK \parallel EO$ και $\widehat{\phi} = P\widehat{O}E = 2 \widehat{\theta}$ .

Όταν $PK \perp AB$ είναι

$\displaystyle{ \sin \phi = \frac{R-r}{R}, \ \ \ \cos \phi = \frac{\sqrt{R^2-(R-r)^2}}{R}, \ \ \ \tan \theta = \frac{\sin \phi}{1+\cos \phi} =\cdots = \frac{R-r}{R+\sqrt{r(2R-r)}} }$

Διπλάσια γωνία 18

Διπλάσια γωνία 18

Re: Διπλάσια γωνία 18

Re: Διπλάσια γωνία 18

Μέλη σε σύνδεση