Τετραπλάσιο άθροισμα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17490
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τετραπλάσιο άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 08, 2022 11:27 am

Τετραπλάσιο άθροισμα.png
Τετραπλάσιο άθροισμα.png (12.1 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές
Σε κύκλο (O,5) βρίσκεται χορδή AB=4 . Να αχθούν παράλληλες χορδές AD

και BC , για τις οποίες να είναι : AD+BC=16 .


Λέξεις Κλειδιά:
κύκλος
παράλληλες-χορδές
τετραπλάσιο
Κορυφή
abgd
Δημοσιεύσεις: 612
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Τετραπλάσιο άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Τρί Μαρ 08, 2022 2:51 pm

Trapezio.png
Trapezio.png (54.58 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές
Ανάλυση

Έστω M, N τα μέσα των AB, CD αντίστοιχα στο ισοσκελές τραπέζιο ABCD

Είναι MN//AD//BC και αν K το μέσο της θα πρέπει OK\perp MN.

Το σημείο K θα είναι το σημείο τομής του κύκλου (M,4) και του κύκλου με διάμετρο την OM

Κατασκευή

Αφού βρούμε το μέσο M της AB και σχεδιάσουμε τους δύο κύκλους βρίσκουμε το σημείο K

και μετά φέρνουμε τις παράλληλες από τα A, B προς την MK , τις AD,BC


\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετραπλάσιο άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μαρ 09, 2022 11:43 am

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 08, 2022 11:27 am
 Τετραπλάσιο άθροισμα.pngΣε κύκλο (O,5) βρίσκεται χορδή AB=4 . Να αχθούν παράλληλες χορδές AD

και BC , για τις οποίες να είναι : AD+BC=16 .
Βεβαίως η καθ’ όλα άψογη γεωμετρική του abgd :clap2: είναι η πλέον ενδεδειγμένη .
Έστω λυμένο το πρόβλημα .
Θεωρώ διαδοχικά χορδή BT = AB = 4 . Θα είναι τα τετράπλευρα ABED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BTEG ισοσκελή τραπέζια ( άρα έχουν ίσες διαγώνιες ) .

Αν η ET συναντήσει την AD στο S θα είναι παραλληλόγραμμο το τετράπλευρο SDBE.

Θέτω: DB = x\, και άρα SE = EA = x , ομοίως αν EB = k θα είναι SD = DT = k. Ακόμα έστω DA = m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT = y.

Από υπόθεση και Θ Πτολεμαίου στο τετράπλευρο ABTD, ισχύουν:
Τετραπλάσιο άθροισμα_Ανάλυση.png
Τετραπλάσιο άθροισμα_Ανάλυση.png (22.21 KiB) Προβλήθηκε 535 φορές
\left\{ \begin{gathered} SD + DA = 16 \hfill \\ TB \cdot DA + AB \cdot DT = TA \cdot DB \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} k + m = 16 \hfill \\ 4k + 4m = xy \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow xy = 64\,\,\,\left( 1 \right)

Όμως το ισοσκελές \vartriangle BTA είναι σταθερό και εύκολα με πολλούς τρόπους υπολογίζω την πλευρά του y.

π. χ. BT \cdot BA = 2Rh \Rightarrow 16 = 10h \Rightarrow h = \dfrac{8}{5} και άρα (Π. Θ. ) \dfrac{y}{2} = \sqrt {16 - \dfrac{{64}}{{25}}} \Rightarrow y = \dfrac{8}{5}\sqrt {21} οπότε και λόγω της \left( 1 \right): \boxed{x = \dfrac{{40}}{{\sqrt {21} }}}

Δηλαδή προσδιορίζεται το D οπότε και το τραπέζιο ADTB.


Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 3291
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετραπλάσιο άθροισμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Μαρ 09, 2022 6:49 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 08, 2022 11:27 am
 Τετραπλάσιο άθροισμα.pngΣε κύκλο (O,5) βρίσκεται χορδή AB=4 . Να αχθούν παράλληλες χορδές AD

και BC , για τις οποίες να είναι : AD+BC=16 .
Ανάλυση

Με BZ διάμετρο , και με Π.Θ παίρνουμε ZA=2 \sqrt{21}

Θεωρούμε AK=//BC οπότεKD=16 και λόγω ισότητας των μπλε γωνιών,αν BE \bot AD θα

είναι DE=EK=8 και τα ορθογώνια BDE,BZA είναι όμοια

Άρα ,από \dfrac{BE}{4}= \dfrac{8}{2 \sqrt{21} } \Rightarrow BE= \dfrac{16}{ \sqrt{21} }

Κατασκευή

O κύκλος (B, \dfrac{16}{ \sqrt{21} } ) τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου 4 στο E και η AE τέμνει τον κύκλο

στο D και φέρνουμε την χορδή BC//AD.

AD,BC είναι οι ζητούμενες χορδές
Τετραπλάσιο άθροισμα.png
Τετραπλάσιο άθροισμα.png (39.9 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες