Συνάντηση ανομοίων

KARKAR · #1

: Συνάντηση ανομοίων.png (11.69 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

Το ύψος

, η διχοτόμος

και η διάμεσος

, του ορθογωνίου τριγώνου ABC

,

( με $\hat{A}=90^{\circ}$ ) , διέρχονται από το ίδιο σημείο

. Υπολογίστε το : $\sin \hat{C}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 24, 2022 7:32 pm
Συνάντηση ανομοίων.pngΤο ύψος , η διχοτόμος και η διάμεσος , του ορθογωνίου τριγώνου ,

( με $\hat{A}=90^{\circ}$ ) , διέρχονται από το ίδιο σημείο . Υπολογίστε το : $\sin \hat{C}$ .

Από Ceva, θεώρημα διχοτόμων και από τις $b^2=a\cdot CD, c^2=a\cdot BD$ έχουμε

$\displaystyle{1= \dfrac {BM}{MA} \dfrac {AE}{EC} \dfrac {CD}{DB}= 1\cdot \dfrac {c}{a} \cdot\dfrac {b^2}{c^2}= \dfrac {b}{c} \cdot \dfrac {b}{a} = \dfrac {1}{\tan C} \cdot \cos C = \dfrac {\cos ^2 C}{\sin C} }$

Άρα $\sin C = 1-\sin ^2 C$ , oπότε $\sin C = \dfrac {-1+\sqrt 5} {2}= \phi -1$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 24, 2022 7:32 pm
Συνάντηση ανομοίων.pngΤο ύψος , η διχοτόμος και η διάμεσος , του ορθογωνίου τριγώνου ,

( με $\hat{A}=90^{\circ}$ ) , διέρχονται από το ίδιο σημείο . Υπολογίστε το : $\sin \hat{C}$ .

Επειδή η

είναι διάμεσος για κάθε σημείο της

αν οι $AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS$ κόψουν τις $CB\,\,,\,\,CA$ στα $D\,\,,\,\,E$ θα είναι EE//AB

( προκύπτει στοιχειωδώς είτε με Θ. Ceva

) .

Αφού όμως η

διχοτόμος θα είναι οι παρά τη βάση γωνίες του $\vartriangle DBE$ ίσες, άρα DB = DE

.

: Συντρέχουν ανόμοια.png (17.34 KiB) Προβλήθηκε 459 φορές

Ταυτόχρονα θα έχω: $\left\{ \begin{gathered} \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{c}{a}\,\,\,\left( {AB//ED} \right) \hfill \\ \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}\left( {AD \bot BC} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,$ και άρα :

${b^2} = ac \Leftrightarrow \boxed{{a^2} - {c^2} = ac}$ θέτω c = ax

και η προηγούμενη δίδει :

${x^2} + x - 1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$ . Δηλαδή $\boxed{\sin C = \frac{c}{a} = \varphi - 1}$

Παρατήρηση : DC = AB = c

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 24, 2022 7:32 pm
Συνάντηση ανομοίων.pngΤο ύψος , η διχοτόμος και η διάμεσος , του ορθογωνίου τριγώνου ,

( με $\hat{A}=90^{\circ}$ ) , διέρχονται από το ίδιο σημείο . Υπολογίστε το : $\sin \hat{C}$ .

: Συνάντηση ανομοίων.png (12.44 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές

$\displaystyle BD = \frac{{{c^2}}}{a}$ και λόγω της διχοτόμου είναι $\displaystyle \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{c}{{{c^2}/a}} = \frac{a}{c}$ και $\displaystyle \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{c}{a}$

Από Van Aubel, $\displaystyle \frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{AM}}{{MB}} + \frac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{a}{c} = 1 + \frac{c}{a} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin C}} = 1 + \sin C \Leftrightarrow$ $\boxed{\sin C = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} = \frac{1}{\Phi }}$

Συνάντηση ανομοίων

Συνάντηση ανομοίων

Re: Συνάντηση ανομοίων

Re: Συνάντηση ανομοίων

Re: Συνάντηση ανομοίων

Μέλη σε σύνδεση