Μέσο και λόγος

KARKAR · #1

: Μέσο και λόγος.png (8.61 KiB) Προβλήθηκε 794 φορές

Από σημείο

του μεγάλου ημικυκλίου φέρουμε το τμήμα

, το οποίο τέμνει τα δύο ημικύκλια

στα σημεία

και

. Πως πρέπει να επιλέξουμε το

, ώστε το

να είναι το μέσο του

και ποιος είναι τότε ο λόγος : $\dfrac{CN}{MS}\:\: ;$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 22, 2021 1:39 pm
Μέσο και λόγος.pngΑπό σημείο του μεγάλου ημικυκλίου φέρουμε το τμήμα , το οποίο τέμνει τα δύο ημικύκλια

στα σημεία και . Πως πρέπει να επιλέξουμε το , ώστε το να είναι το μέσο του

και ποιος είναι τότε ο λόγος : $\dfrac{CN}{MS}\:\: ;$

Έστω ότι κατασκευάστηκε και η μεσοκάθετος της

τέμνει την

στο

Έστω ακόμα

το κέντρο του μεγάλου ημικυκλίου

και

το απόστημα της χορδής SM.

Αν εντοπίσουμε το KB=x,

η κατασκευή είναι απλή, αφού KS=KC=x+d.

: Μέσο και λόγος.png (15.6 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{MN}}{{MC}} = \dfrac{x}{{x + d}}\\ \\ \dfrac{{MN}}{{MP}} = \dfrac{{2MN}}{{MS}} = \dfrac{x}{{d - x}} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{MS = MC} \frac{1}{{x + d}} = \frac{1}{{2(d - x)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{d}{3}}$

Για $x=\dfrac{d}{3}$ είναι $\displaystyle \frac{{CN}}{{MN}} = 3,\frac{{MS}}{{MN}} = \frac{{2MP}}{{MN}} = 4 \Rightarrow$ $\boxed{\dfrac{CN}{MS}=\dfrac{3}{4}}$

#3

Ανάλυση

Αν η κάθετη στο

στο

κόψει το κάτω μεγάλο ημικύκλιο στο

και την

στο

, αυτό θα είναι βαρύκεντρο του $\vartriangle STC$ .

Κατασκευή .

: μέσο και λόγος.png (28.41 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Αν

το

. Το άνω ημικύκλιο διαμέτρου GC = 4k

τέμνει το αντίστοιχο μεγάλο στο

. Η

τέμνει ακόμα το μεγάλο άνω ημικύκλιο στο

.

Προφανώς : $\boxed{\frac{{CN}}{{MS}} = \frac{{CN}}{{CM}} = \frac{{3k}}{{4k}} = \frac{3}{4}}$

nickchalkida · #4

(Δεν αισθάνομαι σίγουρος για την διατύπωση όμως θεωρώ την ιδέα χρήσιμη ... )
Επειδή το

είναι σταθερό και το

διαγράφει κύκλο,
ο γ.τ. κάθε σημείου

με σταθερό λόγο αποστάσεων από τα

,

θα είναι επίσης κύκλος.

όταν S=A

θα είναι

όταν

θα είναι

όταν

θα είναι

άρα ο γ.τ. του

είναι ο κύκλος $\displaystyle \left ( B, {d \over 2}\right )$ και θα είναι

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & SM = MC \cr & ME = EC \cr & MN = NE \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow {SM \over NC} = {MC \over MC - MN} = {4 \over 3} }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 22, 2021 1:39 pm
Μέσο και λόγος.pngΑπό σημείο του μεγάλου ημικυκλίου φέρουμε το τμήμα , το οποίο τέμνει τα δύο ημικύκλια

στα σημεία και . Πως πρέπει να επιλέξουμε το , ώστε το να είναι το μέσο του

και ποιος είναι τότε ο λόγος : $\dfrac{CN}{MS}\:\: ;$

Θεωρούμε τον κύκλο $(O, \dfrac{d}{4} )$ του οποίου η εφαπτόμενη από το

τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο

και η

το τέμνει στο

Tότε, $MB= \dfrac{d}{2}= \dfrac{OS}{2}$ κι επειδή

μέσον της

και

τα

είναι

συνευθειακά και

μέσον της

(καλή για σχολική άσκηση)

Από την ομοιότητα των τριγώνων ABS,BMN

έχουμε

$\dfrac{x}{y}= \dfrac{AB}{BM}=4 \Rightarrow \dfrac{x}{x-y}= \dfrac{MC}{CN} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{CN}{SM}= \dfrac{3}{4}$

: μέσο και λόγος.png (44.99 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 22, 2021 1:39 pm
Μέσο και λόγος.pngΑπό σημείο του μεγάλου ημικυκλίου φέρουμε το τμήμα , το οποίο τέμνει τα δύο ημικύκλια

στα σημεία και . Πως πρέπει να επιλέξουμε το , ώστε το να είναι το μέσο του

και ποιος είναι τότε ο λόγος : $\dfrac{CN}{MS}\:\: ;$

Εστω

$MN=t,KB=BC,BP//KM\Rightarrow MP=PC,BP=\dfrac{d}{2},MB//KS \Rightarrow MB=\dfrac{d}{2}, MB=MP,MN\perp NB,NP=t, PC=2t,SM=4t$

και απο το Πυθαγόρειο θεώρημα

στα τρίγωνα

$BNC,MNB,NB^{2}=d^{2}-9t^{2},NB^{2}=\dfrac{d^{2}}{4}-t^{2}\Rightarrow t=\dfrac{d\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$

Οπότε $CN=\dfrac{3d\sqrt{3}}{4\sqrt{2}},MS=\dfrac{d\sqrt{3}}{\sqrt{2}},\dfrac{CN}{MS}=\dfrac{3}{4}$

Για την κατασκευή ο κύκλος $(C,\dfrac{d\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$ τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο

σημείο Μ

Μέσο και λόγος

Μέσο και λόγος

Re: Μέσο και λόγος

Re: Μέσο και λόγος

Re: Μέσο και λόγος

Re: Μέσο και λόγος

Re: Μέσο και λόγος

Μέλη σε σύνδεση