Σύγκριση τόξων

KARKAR · #1

: Σύγκριση τόξων.png (8.84 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

Να συγκριθούν τα μήκη των τόξων $\overset\frown{QT} , \overset\frown{SP}$ , των δύο ημικυκλίων του σχήματος .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 21, 2021 7:55 pm
Σύγκριση τόξων.pngΝα συγκριθούν τα μήκη των τόξων $\overset\frown{QT} , \overset\frown{SP}$ , των δύο ημικυκλίων του σχήματος .

Θέτουμε $\angle QOT= \phi,\, \angle SKP = \theta$ , οπότε $\overset\frown{QT}= OT \cdot \phi = 3 \phi$ και $\overset\frown{SP} =SK \cdot \theta = 2 \theta$ .

Επίσης $1= OK =KS \sin \theta = 2 \sin \theta$ και $1=OK = OT \sin \phi = 3 \sin \phi$ . Ειδικά $\phi < \theta$ .

Mε χρήση της γνωστής ιδιότότητας $\displaystyle{ (\phi < \theta) \Rightarrow \left (\dfrac {\sin \phi } {\phi} > \dfrac {\sin \theta }{\theta} \right ) }$ που αποδεικνύεται με παραγώγιση αλλά που ήταν γμωστή στον Αρίσταρχο και υπάρχει γεωμετρική απόδειξη στην Μεγίστη Σύνταξη του Πτολεμαίου, έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac { \overset\frown{QT} }{ \overset\frown{SP}} = \dfrac {3 \phi}{2 \theta} < \dfrac {3 \sin \phi}{2\sin \theta }= \dfrac {1}{1} = 1 }$ .

Άρα $\overset\frown{QT} < \overset\frown{SP}$

KARKAR · #3

: Σύγκριση τόξων συνέχεια.png (9.39 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Μεταφέρουμε την κατακόρυφη γραμμή

κατά μία μονάδα δεξιά . Να γίνει τώρα η ίδια σύγκριση .

Σύγκριση τόξων

Σύγκριση τόξων

Re: Σύγκριση τόξων

Re: Σύγκριση τόξων

Μέλη σε σύνδεση