Μέγιστη απομάκρυνση

KARKAR · #1

: Μέγιστη απομάκρυνση.png (12.12 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές

Οι αποστάσεις σημείου

από τις κορυφές A,B

, ισοπλεύρου τριγώνου ABC

είναι

και

αντίστοιχα .

Βρείτε την μέγιστη απόσταση του

από την κορυφή

και την πλευρά του τριγώνου όταν αυτό συμβαίνει .

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 8:08 am
Μέγιστη απομάκρυνση.pngΟι αποστάσεις σημείου από τις κορυφές , ισοπλεύρου τριγώνου είναι και αντίστοιχα .
Βρείτε την μέγιστη απόσταση του από την κορυφή και την πλευρά του τριγώνου όταν αυτό συμβαίνει .

Έστω ότι το μέτρο της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

είναι

Από το β' θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο ASBC

παίρνουμε $aSC\leqslant 3a+5a,$ με το (=)

να ισχύει όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, οπότε προκύπτει $SC_{max}=8.$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 8:08 am
Μέγιστη απομάκρυνση.pngΟι αποστάσεις σημείου από τις κορυφές , ισοπλεύρου τριγώνου είναι και αντίστοιχα .

Βρείτε την μέγιστη απόσταση του από την κορυφή και την πλευρά του τριγώνου όταν αυτό συμβαίνει .

Κατασκευή

Θεωρώ σταθερό ευθύγραμμο τμήμα FB = 8

και το εσωτερικό του μεταβλητό σημείο

Κατασκευάζω $\vartriangle ABS$ με μεταβλητό το μήκος $AB\,\,\,,\,\,0 < AB < 8$ και $SA = 3\,\,,\,\,SB = 5$ .

Προφανώς το

ανήκει στον σταθερό κύκλο $\left( {B,5} \right)$ .

Κατασκευάζω επίσης το μεταβλητό ισόπλευρο τρίγωνο ABC

πλευράς $a\,\,,\,\,0 < a < 8$ και τον περιγεγραμμένο του κύκλο $\left( {A,B,C} \right)$ .

: Μέγιστη απομάκρυνση_1.png (29.47 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

Το κοινό σημείο των δύο κύκλων που βρίσκεται προς το μέρος του

. Έστω

.

Ας πούμε σε CS = x

. Επειδή $\boxed{SC \leqslant ST + TC \Leftrightarrow x \leqslant ST + TC}$ η μέγιστη τιμή του

θα επιτευχθεί

Εφ’ όσον τα σημεία $S\,\,,\,\,T$ ταυτιστούν, δηλαδή το

ανήκει στον $\left( {B,5} \right)$ .

Τότε ως γνωστό $\boxed{x = SB + SA = 8}$ και από το Θ. συνημίτονου $\boxed{AB = 7}$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 8:08 am
Μέγιστη απομάκρυνση.pngΟι αποστάσεις σημείου από τις κορυφές , ισοπλεύρου τριγώνου είναι και αντίστοιχα .

Βρείτε την μέγιστη απόσταση του από την κορυφή και την πλευρά του τριγώνου όταν αυτό συμβαίνει .

Η παρακάτω λύση δεν ενδείκνυται λόγω πληθώρας πράξεων. Ωστόσο, δίνει αποτέλεσμα.

Έστω

η πλευρά του ισοπλεύρου. Οι συντεταγμένες των σημείων φαίνονται στο σχήμα. Ισχύουν οι εξισώσεις:

: Μέγιστη απομάκρυνση.Κ2.png (16.44 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

$\boxed{{x^2} + {(y - a\sqrt 3 )^2} = 9}$ (1),

$\boxed{{(x + a)^2}{\rm{ + }}{y^2}{{ = 25}}}$ (2)

και $\boxed{{(x - a)^2} + {y^2} = S{C^2}}$ (3)

Από τις

με αφαίρεση κατά μέλη, $\boxed{SC^2=25-4ax}$ (4)

και από τις (1),(2),

$\boxed{y = \frac{{{a^2} - ax + 8}}{{a\sqrt 3 }}}$

Τέλος μετά από αντικατάσταση στις (1), (4)

καταλήγω στην $\boxed{S{C^2} = 17 + 2{a^2} + 2\sqrt { - 3{a^4} + 51{a^2} - 48} }$

απ' όπου προκύπτει ότι $\displaystyle S{C^2} \le 64 \Leftrightarrow$ $\boxed{{(SC)_{\max }} = 8}$ όταν $\displaystyle a = \frac{7}{2}$ δηλαδή η πλευρά του ισοπλεύρου είναι $\boxed{2a=7}$

S.E.Louridas · #5

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 8:59 am

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 20, 2020 8:08 am
Μέγιστη απομάκρυνση.pngΟι αποστάσεις σημείου από τις κορυφές , ισοπλεύρου τριγώνου είναι και αντίστοιχα .
Βρείτε την μέγιστη απόσταση του από την κορυφή και την πλευρά του τριγώνου όταν αυτό συμβαίνει .
Έστω ότι το μέτρο της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου είναι Από το β' θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο παίρνουμε $aSC\leqslant 3a+5a,$ με το να ισχύει όταν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, οπότε προκύπτει $SC_{max}=8.$

Απλά επανέρχομαι για να δούμε τον υπολογισμό της πλευράς

του ισοπλεύρου τριγώνου όταν το τετράπλευρο ASBC

είναι εγγράψιμο που το θεωρούμε ως τέτοιο κατά τη στιγμή που έχουμε το μέγιστο SC.

Από τον νόμο του συνημιτόνου στο τρίγωνο ASB

ή εφαρμόζοντας τη γενίκευση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος για πλευρά απέναντι από αμβλεία γωνία, αφού εδώ έχουμε $\displaystyle{\angle ASB=\frac{2\pi }{3}},$ εύκολα παίρνουμε: a=7.

Μέγιστη απομάκρυνση

Μέγιστη απομάκρυνση

Re: Μέγιστη απομάκρυνση

Re: Μέγιστη απομάκρυνση

Re: Μέγιστη απομάκρυνση

Re: Μέγιστη απομάκρυνση

Μέλη σε σύνδεση