Από έγκεντρο σε έγκεντρο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό βράδυ! Mε αφορμή το θέμα του Νίκου, ΕΔΩ

: Από έγκεντρο σε έγκεντρο.png (121.86 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{A}=90^o$ , το

είναι ύψος του ενώ το $H \in AC$ ώστε να είναι $DH \perp AC$

κι΄ακόμη ισχύει $\dfrac{BC}{AB}=\Phi$ , όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός.

To

είναι το έγκεντρο του τριγώνου DAC

και το τόξο των C,F,B

τέμνει την

στο

Να εξεταστεί αν και το είναι το έγκεντρο του τριγώνου . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 14, 2020 8:15 pm
Καλό βράδυ! Mε αφορμή το θέμα του Νίκου, ΕΔΩ
Από έγκεντρο σε έγκεντρο.png
Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=90^o$ , το είναι ύψος του ενώ το $H \in AC$ ώστε να είναι $DH \perp AC$

κι΄ακόμη ισχύει $\dfrac{BC}{AB}=\Phi$ , όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός.

To είναι το έγκεντρο του τριγώνου και το τόξο των τέμνει την στο

Να εξεταστεί αν και το είναι το έγκεντρο του τριγώνου . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Επειδή $\boxed{\frac{a}{c} = \varphi \Leftrightarrow {c^2} = a\left( {a - c} \right) \Leftrightarrow ac = {a^2} - {c^2} = {b^2} \Leftrightarrow c = \frac{{{b^2}}}{a} \Leftrightarrow AB = DC}$

Άρα $\vartriangle DAC = \vartriangle HCD$ με άμεσες συνέπειες:

$DH = DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}}$ . Αν φέρω επομένως τις διχοτόμους των ίσων γωνιών $\widehat {BAD}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {DCH}$ και κόψουν την

στα $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,I$ Έτσι:

: Απο έγκεντρο σε έγκεντρο.png (39.89 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Το

θα είναι το έγκεντρο του $\vartriangle DAB$ και το

το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ .

Αν η $\overline {CFI}$ κόψει την

στο

και η

την

στο

θα είναι :

$\widehat {CFA} = \widehat {ANB} = 135^\circ \Rightarrow \widehat {AFI} = \widehat {ANI} = 45^\circ$ και προφανώς $\widehat {IAB} = \widehat {IAC} = 45^\circ$ .

Μετά απ’ αυτά το

είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle ANF$ και αβίαστα προκύπτουν:

$\displaystyle \widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}} \Rightarrow \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}$ οπότε το τετράπλευρο BNFC

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο επαληθεύτηκε.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ!
Να ευχαριστήσω βεβαίως τον Νίκο για την υπέροχη διαπραγμάτευση του παρόντος!

Κλειδί , όπως γίνεται φανερό είναι ο διπλός ρόλος του σημείου

:
έγκεντρο του τριγώνου BAC

και ορθόκεντρο του τριγώνου FAN

.

Τέλος -για χάρη της βαλλόμενης ευθυμίας μας- μια ερώτηση: Θεωρείτε ότι τα γράμματα

και

που έδωσα στα βαρύκεντρα , ήταν τυχαία;;

Απάντηση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φιλικά, Γιώργος.

Από έγκεντρο σε έγκεντρο

Από έγκεντρο σε έγκεντρο

Re: Από έγκεντρο σε έγκεντρο

Re: Από έγκεντρο σε έγκεντρο

Μέλη σε σύνδεση