Η συνευθειακότητα των προοπτικοτήτων

#1

: Η συνευθειακότητα των προοπτικοτήτων.png (45.24 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ και τα ισοτομικά ζεύγη σημείων $\displaystyle{{A_1} - {A_2},{B_1} - {B_2},{C_1} - {C_2}}$ των πλευρών $\displaystyle{BC,CA,AB}$ αντίστοιχα (όπως εμφανίζονται στο σχήμα) . Αν $\displaystyle{K \equiv A{A_1} \cap B{B_2},L \equiv A{A_2} \cap B{B_1},K' \equiv A{A_1} \cap C{C_2},L' \equiv A{A_2} \cap B{B_1}}$ να δειχθεί ότι οι ευθείες $\displaystyle{KL,K'L'}$ τέμνονται επί της ευθείας $\displaystyle{BC}$ στο σημείο $\displaystyle{S}$ . Με ακριβώς όμοιο τρόπο προκύπτουν τα σημεία $\displaystyle{F,T}$ επί των πλευρών $\displaystyle{AB,AC}$ αντίστοιχα. Επί πλέον να δειχθεί ότι $\displaystyle{F,S,T}$ είναι συνευθειακά

Στάθης

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 16, 2020 12:53 pm
Η συνευθειακότητα των προοπτικοτήτων.png Έστω τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ και τα ισοτομικά ζεύγη σημείων $\displaystyle{{A_1} - {A_2},{B_1} - {B_2},{C_1} - {C_2}}$ των πλευρών $\displaystyle{BC,CA,AB}$ αντίστοιχα (όπως εμφανίζονται στο σχήμα) . Αν $\displaystyle{K \equiv A{A_1} \cap B{B_2},L \equiv A{A_2} \cap B{B_1},K' \equiv A{A_1} \cap C{C_2},L' \equiv A{A_2} \cap B{B_1}}$ να δειχθεί ότι οι ευθείες $\displaystyle{KL,K'L'}$ τέμνονται επί της ευθείας $\displaystyle{BC}$ στο σημείο $\displaystyle{S}$ . Με ακριβώς όμοιο τρόπο προκύπτουν τα σημεία $\displaystyle{F,T}$ επί των πλευρών $\displaystyle{AB,AC}$ αντίστοιχα. Επί πλέον να δειχθεί ότι $\displaystyle{F,S,T}$ είναι συνευθειακά

Στάθης

Οι προτάσεις γενικεύονται ,δηλαδή τα 6 σημεία στις πλευρές αρκεί να είναι ομοκωνικά.
Θα το δείξω για την γενική περίπτωση.Για το πρώτο από θ.Desargues είναι ισοδύναμο με το ότι τα τρίγωνα MKL,M'K'L'

είναι προοπτικά το οποίο βασικά είναι αρκετά γνωστό,έσω κάνει παλαιότερα μία απόδειξη εδώ αλλά θα βάλω μία ακόμη που σκέφτηκα τώρα(η άσκηση στο Aops ήταν με κύκλο για κωνική αλλά αυτό δεν είναι πρόβλημα αφού οι κωνικές είναι προβολικά ισοδύναμες):
Σταθεροποιώ τα B_1,C_1,A_1,A_2

,κουνάω το B_2

στην

και ορίζω με την κωνική το C_2

Το

κινείται προβολικά προς το B_2

άρα και τα K',K

.Τα

οπότε μένει να δείξουμε ότι οι $B_2\rightarrow C_2\rightarrow K'\rightarrow L'K'\cap BC,B_2\rightarrow BB_2\rightarrow K\rightarrow LK\rightarrow KL\cap BC$ ταυτίζονται.
Αρκεί αυτό να συμβαίνει για τρεις θέσεις του B_2

.
Όταν

είναι

(ταυτίζονται) αφού κωνική και ευθεία έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία και το ζητούμενο είναι άμεσο.
Για B_2=C

η κωνική εκφυλίζεται με C=B

και

Επίσης αν πάρουμε $B_2=AC\cap C_1A_2'$ με A_2'

το αρμονικό συζηγές του A_2

προς τα

τότε

συνευθειακά δηλαδή οι AA_2,CC_1,BB_2

συντρέχουν οπότε το ίδιο θα κάνουν και οι AA_1,CC_2,BB_1

(π.χ αν είχαμε ισοτομικότητα με ceva).
Βρήκαμε λοιπόν 3 θέσεις και τελειώσαμε.
Τώρα το ότι τα F,T,S

είναι συνευθειακά είναι άμεσο από το ότι τα MK'L',MKL

είναι προοπτικά(θ.Desargues)

Η συνευθειακότητα των προοπτικοτήτων

Η συνευθειακότητα των προοπτικοτήτων

Re: Η συνευθειακότητα των προοπτικοτήτων

Μέλη σε σύνδεση