Ίσα τμήματα

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #1

: 198.PNG (23.18 KiB) Προβλήθηκε 1284 φορές

Καλή χρονιά σε όλους!
Έστω τρίγωνο ABC

με

. Αν

το έκκεντρο του ABC

και

το μέσο του τόξου $\overset{\frown }{BC}$ που δεν περιέχει το

να δείξετε ότι AI=BM

.

#2

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 01, 2020 12:08 am
198.PNG

Καλή χρονιά σε όλους!
Έστω τρίγωνο με . Αν το έκκεντρο του και το μέσο του τόξου $\overset{\frown }{BC}$ που δεν περιέχει το να δείξετε ότι .

Καλή Χρονιά!

: Θ.Φ.png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

Είναι γνωστό ότι MB=MI=MC.

Από Πτολεμαίο στο εγγεγραμμένο ABMC:

$\displaystyle c \cdot MC + b \cdot MB = a \cdot AM \Leftrightarrow (b + c)BM = aAM \Leftrightarrow AM = 2BM$ και το ζητούμενο έπεται.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλή χρονιά σε όλους! Πρόλαβε ο Γιώργος , παρά το ..

..μεταμεσονύκτιον της ώρας (*)
Ας αφήσω το σχήμα που δικαιολογεί την σχέση IM=BM=MC

: Ισα τμήματα.PNG (11.67 KiB) Προβλήθηκε 1264 φορές

(*)Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι..

.. ο

όπως και η N.Y

ποτέ δεν κοιμάται;
Φιλικά, Γιώργος.

Ορέστης Λιγνός · #4

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 01, 2020 12:08 am

198.PNG
Καλή χρονιά σε όλους!
Έστω τρίγωνο με . Αν το έκκεντρο του και το μέσο του τόξου $\overset{\frown }{BC}$ που δεν περιέχει το να δείξετε ότι .

Καλή Χρονιά σε όλους !!

Μία ελαφρώς διαφορετική λύση ...

Έστω, $Q \equiv AM \cap BC$ .

Από Θ. Διχοτόμου, είναι $BQ=\dfrac{ac}{b+c}=\dfrac{c}{2}$ , οπότε, $\dfrac{AI}{IQ}=\dfrac{BA}{BQ}=2 \Rightarrow IQ=AI/2$ .

Επίσης, $\angle QBM=\angle CAM=\angle BAM$ , άρα η

εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle BAQ$ .

Οπότε, (χρησιμοποιώ το MB=MI

) $MI^2=MB^2=MQ \cdot MA \Rightarrow (MQ+QI)^2=MQ \cdot (MQ+QI+IA)$ $\Rightarrow (MQ+AI/2)^2=MQ(MQ+3AI/2) \Rightarrow AI=2MQ$ .

Οπότε, $AI=2MQ=2QI \Rightarrow MQ=QI \Rightarrow AI=2MQ=MQ+QI=MI=MB$ , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε !!

#5

Καλή χρονιά να έχουμε .

: Τα Ισα τμήματα του Θεοδόση_a.png (27.4 KiB) Προβλήθηκε 1177 φορές

$\left\{ \begin{gathered} s = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{3a}}{2}\,\,\, \hfill \\ AD = s - a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AD = NC$ και αφού προφανώς $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ τα ορθογώνια

τρίγωνα $DAI\,\,\kappa \alpha \iota \,NCM$ έχουν κάθετες πλευρές ίσες και τις προσκείμενες σ αυτές οξείες γωνίες ίσες , άρα είναι ίσα .

Θα έχουν λοιπόν και τις υποτείνουσες ίσες . Δηλαδή AI = MC = MB

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 01, 2020 12:08 am
198.PNG

Καλή χρονιά σε όλους!
Έστω τρίγωνο με . Αν το έκκεντρο του και το μέσο του τόξου $\overset{\frown }{BC}$ που δεν περιέχει το να δείξετε ότι .

Αλλιώς...

Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει τις MB,MC

στα

αντίστοιχα και όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες

Έτσι, AKBI,AICL

εγγράψιμα κι επειδή τα τρίγωνα SIB,ITC

είναι προφανώς ισοσκελή ,τα

τετράπλευρα AKBI,AICL

είναι ισοσκελή τραπέζια

Άρα KL=LI+IK=b+c=2a

,συνεπώς

μέσα των

αντίστοιχα

Τελικά, $MK=MA=ML=2AI=2BM \Rightarrow AI=BM$

: ίσα τμήματα.png (25.17 KiB) Προβλήθηκε 1151 φορές

Ίσα τμήματα

Ίσα τμήματα

Re: Ίσα τμήματα

Re: Ίσα τμήματα

Re: Ίσα τμήματα

Re: Ίσα τμήματα

Re: Ίσα τμήματα

Μέλη σε σύνδεση