Ομοκυκλικότητα

Al.Koutsouridis · #1

Στη βάση

και στις παράπλευρες πλευρές

,

ισοσκελούς τριγώνου ABC

δίνονται τα σημεία P,Q

και

αντίστοιχα, ώστε το τετράπλευρο PQAR

να είναι παραλληλόγραμμο. Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

δίνεται σημείο

τέτοιο, ώστε $\angle ASP =90^{0}$ . Να αποδείξετε ότι τα σημεία A,S,Q

και

είναι ομοκυκλικά.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 27, 2019 11:54 pm
Στη βάση και στις παράπλευρες πλευρές , ισοσκελούς τριγώνου δίνονται τα σημεία και αντίστοιχα, ώστε το τετράπλευρο να είναι παραλληλόγραμμο. Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου δίνεται σημείο τέτοιο, ώστε $\angle ASP =90^{0}$ . Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.

Έστω

το κέντρο του παραλληλογράμμου PQAR

.Θα είναι

και

. Έχουμε $\angle ASC=180^{\circ}-\angle B\Leftrightarrow 90^{\circ}+\angle PSC=180^{\circ}-\angle B\Leftrightarrow \angle PSC=\dfrac{\angle A}{2}=\dfrac{\angle PRC}{2}$ οπότε RS=RP=AQ

και

μεσοκάθετος του

άρα παράλληλη στην

.
Συνεπώς AQRS

εγγράψιμο ως ισοσκελές τραπέζιο.

: 170.PNG (36.41 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές

#3

: Ομοκυκλικότητα.png (37.63 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου AQPR

, έστω

, είναι μέσο του

.

Αφού το $\vartriangle ABC$ είναι ισοσκελές προφανώς και το $\vartriangle RPC$ είναι ισοσκελές . Άρα : $\boxed{AQ = RC}$ .

Ας είναι

το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Επειδή η

διχοτομεί τη γωνία της κορυφής του θα προκύψει ότι :

$\vartriangle OQA = \vartriangle ORC\,\,\left( {OA = OC\,\,,\,\,QA = RC,\widehat {QAO} = \widehat {OAC} = \widehat {RCO}} \right)$ , επομένως $\boxed{OQ = OR}\,\,(1)$

Ας είναι

ο νότιος πόλος , θα είναι $OM// = \dfrac{{NP}}{2} \Rightarrow OM \bot AS$

Δηλαδή η ευθεία

είναι κοινή μεσοκάθετος στα ευθύγραμμα τμήματα :

$QR\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS$ με άμεση συνέπεια το τετράπλευρο QRSA

να είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα και εγγράψιμο σε κύκλο .

Ομοκυκλικότητα

Ομοκυκλικότητα

Re: Ομοκυκλικότητα

Re: Ομοκυκλικότητα

Μέλη σε σύνδεση