Περίεργο τμήμα

KARKAR · #1

: Περίεργο τμήμα.png (9.73 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

Οι πλευρές a,b,c

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ είναι γνωστές . Φέρουμε το ύψος

και τις διχοτόμους DS , DT

των γωνιών $\widehat{ADB} ,\widehat{ADC}$ αντίστοιχα . Υπολογίστε το τμήμα

. Εφαρμογή : a=9 , b=8 , c=6

#2

Αν θέσω : $ST = x\,\,,\,\,DB = u = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\,\,\,,\,\,DC = v = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AD = h = \dfrac{{2E}}{a}$

βρίσκω :

$\boxed{{x^2} = 2E - h\left( {\frac{{{c^2}u}}{{{{\left( {h + u} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}v}}{{{{\left( {h + v} \right)}^2}}}} \right)}$ , αλλά θα ψάξω για πιο κομψή λύση

Με τα νούμερα του Θανάση βρίσκω:

$\boxed{x = \sqrt {\frac{{31790694840734830}}{{20919637292401}} - \frac{{665516912287535\sqrt {8855} }}{{41839274584802}}} \simeq 4,779039552}$

Αν βάλετε τα κλασσικά : $a = 15,\,\,b = 14,\,\,c = 13$ θα προκύψει : $\boxed{x = \frac{{48\sqrt {277} }}{{89}}}$ ..

#3

Καλησπέρα σε όλους. Το παρακάτω δεν το λες και πιο κομψή λύση απ' αυτή του Νίκου. Πάντως λειτουργεί.

Δεχόμαστε ότι οι γωνίες $\displaystyle \widehat B,\;\widehat C$ είναι οξείες, ώστε το

να είναι σημείο του

.

Τώρα κάνω μια παράβαση. Ονομάζω a, b, c

τις θέσεις των A,B,C,

στους άξονες, με κέντρο το

. Προσδιορίζω το

(εύκολα) συναρτήσει των a, b, c

και κατόπιν υπολογίζω τα a, b, c

συναρτήσει των μηκών των πλευρών AB, BC, AC

του τριγώνου.

Έστω D(0,0), A(0, a), a > 0, B(b, 0), b < 0, C(c, 0), c > 0

.

.

Είναι $\displaystyle AC:\;\;y = - \frac{a}{c}x + a,\;\;\;AB:\;\;y = - \frac{a}{b}x + a$ , οπότε $\displaystyle T\left( {\frac{{ac}}{{a + c}},\;\frac{{ac}}{{a + c}}} \right),\;\;\;S\left( {\frac{{ab}}{{a + b}},\;\frac{{ab}}{{a + b}}} \right)$
Τότε $\displaystyle ST = \frac{{a\left( {c - b} \right)}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}\sqrt 2$ .

Είναι $\displaystyle \left( {BC} \right) = c - b,\;\;\left( {AB} \right) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\;\left( {AC} \right) = \sqrt {{a^2} + {c^2}}$ .

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {\left( {AB} \right)^2} = {a^2} + {b^2}\\ {\left( {AC} \right)^2} = {a^2} + {c^2}\; \end{array} \right.\; \Rightarrow {c^2} - {b^2} = {\left( {AC} \right)^2} - {\left( {AB} \right)^2} \Leftrightarrow \left( {c + b} \right)\left( {c - b} \right) = {\left( {AC} \right)^2} - {\left( {AB} \right)^2}$

Οπότε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} c + b = \frac{{{{\left( {AC} \right)}^2} - {{\left( {AB} \right)}^2}}}{{\left( {BC} \right)}}\\ c - b = \left( {BC} \right) \end{array} \right.$ από όπου έχουμε

$\displaystyle c = \frac{{{{\left( {BC} \right)}^2} + {{\left( {AC} \right)}^2} - {{\left( {AB} \right)}^2}}}{{2\left( {BC} \right)}},\;\;b = \frac{{{{\left( {AC} \right)}^2} - {{\left( {AB} \right)}^2} - {{\left( {BC} \right)}^2}}}{{2\left( {BC} \right)}}$ και

$\displaystyle a = \sqrt {{{\left( {AB} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{{{\left( {AC} \right)}^2} - {{\left( {AB} \right)}^2} - {{\left( {BC} \right)}^2}}}{{2\left( {BC} \right)}}} \right)}^2}}$

Περίεργο τμήμα

Περίεργο τμήμα

Re: Περίεργο τμήμα

Re: Περίεργο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση