Ισοβασικό ύψος

KARKAR · #1

: Ισοβασικό ύψος.png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 1112 φορές

Στο οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το ύψος

είναι ίσο με τη βάση

, ενώ

η διάμεσος

σχηματίζει γωνία 30^0

με την

. Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{BD}{DC}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 05, 2019 9:13 pm
Ισοβασικό ύψος.pngΣτο οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το ύψος είναι ίσο με τη βάση , ενώ

η διάμεσος σχηματίζει γωνία με την . Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{BD}{DC}$ .

Εντός του τετραγώνου πλευράς $\displaystyle BC$ κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle KBC$

Η κάθετη στην $\displaystyle KB$ στο $\displaystyle K$ τέμνει την $\displaystyle EF$ στο $\displaystyle A$ και η προβολή του στην $\displaystyle BC$ είναι το $\displaystyle D$

Η κάθετη από το $\displaystyle C$ στην $\displaystyle KB$ τέμνει την $\displaystyle AB$ στο μέσον της $\displaystyle M$

Είναι $\displaystyle KA = AE$ (εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου $\displaystyle \left( {B,BC} \right)$ ).Άρα $\displaystyle \angle ABK = {15^0} \Rightarrow \angle ABD = {75^0}$

$\displaystyle \tan {75^0} = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{BC}}{{BD}} \Rightarrow \sqrt 3 + 2 = \frac{{BD + DC}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{DC}}{{BD}} = \sqrt 3 + 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 + 1}}}$

: Iσοβασικό ύψος.png (17.54 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

#3

Κατασκευή

Έστω ευθύγραμμο τμήμα BC = a

και ευθεία

παράλληλο σ αυτό σε απόσταση

. Θεωρώ, με κορυφή το

, ευθεία που σχηματίζει γωνία $30^\circ$ με τη

.

Η ευθεία αυτή τέμνει τη

στο

. Αν

το μέσο του

η

τέμνει τη

στο

.

Το τετράπλευρο BCAT

είναι παραλληλόγραμμο γιατί κάθε ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το

και έχει τα άκρα του στις παράλληλες

και

θα διχοτομείται από το

, δηλαδή εδώ AM = MB

.

Επειδή η απόσταση

από τη

είναι

, θα είναι $\boxed{TC = 2a \Rightarrow CM =MT = a}$ .

: Ισοβασικό ύψος.png (19.94 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές

Αν τώρα $BD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = y\,\,$ θα είναι $\left\{ \begin{gathered} x + y = a \hfill \\ \tan 75^\circ = \frac{{AD}}{x} = \frac{a}{x} \hfill \\ \tan 75^\circ = 2 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = x(2 + \sqrt 3 ) \hfill \\ y = a - x = x(1 + \sqrt 3 ) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} = \frac{1}{{1 + \sqrt 3 }}}$

#4

: Ισοβασικό ύψος_new.png (13.68 KiB) Προβλήθηκε 1066 φορές

Αλλιώς

Το εμβαδόν του τριγώνου ABC

είναι :

$E = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow \dfrac{E}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow (MBC) = \dfrac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{2}aMC\sin 30^\circ = \dfrac{{{a^2}}}{4}$ και άρα $\boxed{MC = a}$ τα υπόλοιπα όπως πιο πάνω

p_gianno · #5

: Ισοβασικο ύψος.PNG (15.9 KiB) Προβλήθηκε 1060 φορές

και

αφού

Στο ορθ τριγ MNC

η

βρίσκεται απέναντι από 30^0

συνεπώς $\displaystyle 2MN=MC=AD=BC=a$

$\displaystyle \triangle MNC: NC= \frac{\sqrt3}{2} MC= \frac{\sqrt3}{2} a$

Ενώ $\displaystyle BN=BC-NC=a- \frac{\sqrt3}{2} a=(1- \frac{\sqrt3}{2} )a$

$\displaystyle DC=BC-2BN=a-(2-\sqrt3)a=(-1+\sqrt3)a$

$\displaystyle \frac{BD}{DC} =\frac{2BN}{DC}=\frac{(2-\sqrt3)a}{(-1+\sqrt3)a}=\frac{\sqrt3-1}{2}$

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 05, 2019 9:13 pm
Στο οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , το ύψος είναι ίσο με τη βάση , ενώ

η διάμεσος σχηματίζει γωνία με την . Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{BD}{DC}$ .

Καλημέρα!

: shape.png (15.91 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

Θέτω

. Οι παράλληλες από τα M,C

προς τις

αντίστοιχα τέμνονται στο

.

Από Π.Θ. στο $\triangleleft MKC$ παίρνουμε την εξίσωση $2{x^2} + 2xy - {y^2} = 0$ .

Διαιρώντας κάθε όρο με ${y^2}$ και θέτοντας $a = \dfrac{x}{y}$ καταλήγουμε στο τριώνυμο $2{a^2} + 2a - 1 = 0$ με δεκτή λύση $a = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$

#7

Καλημέρα σε όλους.

: 06-01-2019 Γεωμετρία.jpg (24.55 KiB) Προβλήθηκε 1026 φορές

Έστω

.

Τότε $\displaystyle M\left( {\frac{{b - 1}}{2},\;\frac{1}{2}} \right)$ και $\displaystyle {\lambda _{MC}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{{b - 1}}{2} - b}} = - \frac{1}{{b + 1}} = \varepsilon \varphi 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow b = \sqrt 3 - 1$ ,

οπότε $\displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{1 - b}}{b} = \frac{1}{b} - 1 = \frac{1}{{\sqrt 3 - 1}} - 1 = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$ .

Ισοβασικό ύψος

Ισοβασικό ύψος

Re: Ισοβασικό ύψος

Re: Ισοβασικό ύψος

Re: Ισοβασικό ύψος

Re: Ισοβασικό ύψος

Re: Ισοβασικό ύψος

Re: Ισοβασικό ύψος

Μέλη σε σύνδεση