Εγκεντρική αριθμητική πρόοδος

KARKAR · #1

: Εγκεντρική αριθμητική πρόοδος.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές

Το

είναι το έγκεντρο τριγώνου $\displaystyle ABC$ , του οποίου οι πλευρές c,b,a

, είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου . Ο κύκλος (E,EB)

τέμνει την

στο σημείο

και την προέκταση της

στο

. Δείξτε ότι : AS=TC

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 16, 2017 8:29 pm
Το είναι το έγκεντρο τριγώνου $\displaystyle ABC$ , του οποίου οι πλευρές , είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου . Ο κύκλος τέμνει την

στο σημείο και την προέκταση της στο . Δείξτε ότι : .

Θανάση καλησπέρα....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα που κατασκευάστηκε σύμφωνα με
τα δεδομένα του προβλήματος. Δηλαδή $\displaystyle{c,b,a}$ διαδοχικοί όροιι
αριθμητικής προόδου.

: Εγκεντρική αριθμητική πρόοδος 1.png (39.28 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Για το σημείο $\displaystyle{A}$ από τα γνωστά για τη δύναμη σημείου ισχύει:

$\displaystyle{(SA)(AB)=y^2-x^2 \ \ (1)}$

Επίσης από το τρίγωνο $\displaystyle{AEB}$ και από το δεύτερο θεώρημα των διχοτόμων είναι:

$\displaystyle{y^2-x^2=2c(MK)=2c[(MA)-(AK)]=2c[\frac{c}{2}-(\tau-a)]=c(a-b) \ \ (2)}$

Άρα από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{(SA)(AB)=c(SA)=c(a-b)}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{ (SA)=a-b \ \ (3)}$

Όμοια αν εργαστούμε για το σημείο $\displaystyle{C}$ θα έχουμε:

$\displaystyle{(CT)(CB)=z^2-y^2=2a(LN)=2a[\frac{a}{2}-(\tau-b)]=a(b-c)}$

δηλαδή:

$\displaystyle{(CT)(CB)=(CT)a=a(b-c)}$

και τελικά έχουμε:

$\displaystyle{(CT)=b-c \ \ (4)}$

Όμως επειδή $\displaystyle{c,b,a}$ είναι αριθμητική πρόοδος θα είναι: $\displaystyle{a-b=b-c \ \ (5)}$

Από τις (3), (4) και (5) προκύπτει το ζητούμενο, δηλαδή:

$\displaystyle{(SA)=(CT)}$

Κώστας Δόρτσιος

#3

[quote=KARKAR post_id=290402 time=1508174963 user_id=3451]
Εγκεντρική αριθμητική πρόοδος.pngΤο

είναι το έγκεντρο τριγώνου $\displaystyle ABC$ , του οποίου οι πλευρές c,b,a

, είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου . Ο κύκλος (E,EB)

τέμνει την

στο σημείο

και την προέκταση της

στο

. Δείξτε ότι : AS=TC

.
[/quote]

[attachment=0]Εγκεντρικη πρόοδος.png[/attachment]

Αν 2s = a + b + c

και θέσω $TC = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = y$ έχω :

$\left\{ \begin{gathered} x + DT = s - c \hfill \\ y + AL = BL \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + BD = s - c \hfill \\ y + AL = s - b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x + s - b = s - c \hfill \\ y + s - a = s - b \hfill \\ \end{gathered} \right.$ δηλαδή

$\left\{ \begin{gathered} x = b - c \hfill \\ y = a - b \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Αρκεί $x = y \Leftrightarrow b - c = a - b \Leftrightarrow 2b = a + c$ που ισχυει από την υπόθεση.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 16, 2017 8:29 pm
Εγκεντρική αριθμητική πρόοδος.pngΤο είναι το έγκεντρο τριγώνου $\displaystyle ABC$ , του οποίου οι πλευρές , είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου . Ο κύκλος τέμνει την

στο σημείο και την προέκταση της στο . Δείξτε ότι : .

Με $\displaystyle F$ επί της $\displaystyle AC$ ώστε $\displaystyle AB = AF$ και $\displaystyle Z$ επί της $\displaystyle BC$ ώστε $\displaystyle AC = CZ$ κι επειδή οι $\displaystyle \gamma ,\beta ,\alpha$

είναι διαδοχικοί όροι α.προόδου ,θα είναι $\displaystyle FC = BZ$

Λόγω ισότητας των $\displaystyle \vartriangle AEB,AEF$ ο κύκλος $\displaystyle \left( {E,EB} \right)$ περνά από το $\displaystyle F$

Επειδή $\displaystyle CE$ μεσοκάθετος της $\displaystyle AZ \Rightarrow AE = EZ$ .Ακόμη , $\displaystyle ET = EB$ και $\displaystyle \angle ETB = \angle EBT = \angle \frac{B}{2}$

όπως και $\displaystyle \angle EZT = \angle EAC = \angle EAB = \angle \frac{A}{2}$

Άρα $\displaystyle \vartriangle EZT = \vartriangle AEB \Rightarrow \boxed{{\text{ }}ZT = AB} \Rightarrow \boxed{CT = CF}$

$\displaystyle CT \cdot CB = CF \cdot CP \Rightarrow CB = CP \Rightarrow FP = TB \Rightarrow AP + AF = BZ + ZT \Rightarrow \boxed{AP = BZ}$

$\displaystyle SA \cdot AB = PA \cdot AF \Rightarrow \boxed{SA = AP = BZ = FC = TC}$

: E.A.P.png (32.98 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

Εγκεντρική αριθμητική πρόοδος

Εγκεντρική αριθμητική πρόοδος

Re: Εγκεντρική αριθμητική πρόοδος

Re: Εγκεντρική αριθμητική πρόοδος

Re: Εγκεντρική αριθμητική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση