Συντρέχουσες ευθείες

#1

: Συντρέχουσες...png (12.05 KiB) Προβλήθηκε 872 φορές

Α) Σε τρίγωνο ABC

με

να δείξετε ότι το ύψος AD,

η διχοτόμος

και η διάμεσος

συντρέχουν.

B) Γενικεύστε για τυχαίο οξυγώνιο τρίγωνο και βρείτε μία σχέση ανάμεσα στις πλευρές του, ώστε οι παραπάνω ευθείες να συντρέχουν.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2017 9:41 am
Συντρέχουσες...png
Α) Σε τρίγωνο με να δείξετε ότι το ύψος η διχοτόμος και η διάμεσος συντρέχουν.

B) Γενικεύστε για τυχαίο οξυγώνιο τρίγωνο και βρείτε μία σχέση ανάμεσα στις πλευρές του, ώστε οι παραπάνω ευθείες να συντρέχουν.

Πάω απευθείας στο B), με χρήση Ceva. H σχέση

$\displaystyle{ \frac {BD}{DC} \cdot \frac {CE}{EA} \cdot \frac {AZ}{ZA} = 1}$ γράφεται

$\displaystyle{ \frac {c\cos B}{b \cos C} \cdot \frac {a}{c} \cdot \frac {1}{1} = 1}$ ισοδύναμα

$\boxed {a \cos B= b \cos C}$ . Αλλιώς $\displaystyle{ \boxed {\frac {a^2+c^2-b^2}{2c} = \frac {a^2+b^2-c^2}{2a} }}$

(βέβαια απλοποιείται κάπως).

Για την περίπτωση του αριθμητικού παραδείγματος στο Α) (που είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον ότι οι πλευρές είναι ακέραιες) εύκολα υπολογίζουμε τα ζητούμενα

Συντρέχουσες ευθείες

Συντρέχουσες ευθείες

Re: Συντρέχουσες ευθείες

Μέλη σε σύνδεση