Ίσα τμήματα

#1

Δίνεται τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω

το ορθόκεντρο και

το μέσον της

. Αν οι ευθείες BH , HM

τέμνουν

τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία Z , T

αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι ZT=BC

(ΠΗΓΗ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ, του Μπάμπη Στεργίου)

: ΣΧΗΜΑ(4),6-1-17.png (16.25 KiB) Προβλήθηκε 940 φορές

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

η τομή του

με την

.

Από τη θεωρία γνωρίζουμε πως HM=MT

και επειδή BM=MC

ισχύει ότι το τετράπλευρο BHCT

είναι παραλληλόγραμμο.

Άρα TC//BH

. Όμως $BH\perp AC$ , επομένως $TC\perp AC$ .

Έχουμε δηλαδή πως $\widehat{TCB}+\widehat{BCA}=90^o$ (1)

Επιπλέον έχουμε ότι $\widehat{ZBC}+\widehat{BCA}=90^o$ (2), επειδή η

είναι κάθετη στη

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι $\widehat{TCB}=\widehat{ZBC}$

Όμως από εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο έχουμε ότι $\widehat{TCB}=\widehat{TZB}=\widehat{ZBC}$

Συνεπώς το τρίγωνο BEZ

είναι ισοσκελές, με BE=ZE

(3).

Ακόμη με δύναμη σημείου στο

έχουμε ότι $BE\cdot EC=ZE\cdot ET$ , άρα EC=ET

(4)

Προσθέτοντας τις σχέσεις (3) και (4) κατά μέλη προκύπτει ότι BC=ZT

Edit: Προστέθηκε το σχήμα...

S.E.Louridas · #3

Αν

το συμμετρικό του

, ως προς την

, τότε
$\angle BCH' = \angle TBC \Rightarrow \angle TBZ = \angle BCH' + {90^ \circ } - \angle C$ $= {90^ \circ } - \angle B + {90^ \circ } - \angle C = \angle A \Rightarrow$ BC=ZT

.

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω το ορθόκεντρο και το μέσον της . Αν οι ευθείες τέμνουν

τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι

(ΠΗΓΗ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ, του Μπάμπη Στεργίου)

ΣΧΗΜΑ(4),6-1-17.png

: Ίσα τμήματα....png (21.06 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

Ως γνωστόν HM=MT

, οπότε το BHCT

είναι παραλληλόγραμμο, το BZCT

ισοσκελές τραπέζιο και το ζητούμενο έπεται.

Ίσα τμήματα

Ίσα τμήματα

Re: Ίσα τμήματα

Re: Ίσα τμήματα

Re: Ίσα τμήματα

Μέλη σε σύνδεση