Πάνω από το 80%

KARKAR · #1

Δείξτε ότι για κάθε $x , y \in \mathbb{R}$ , ισχύει : $x^2+y^2+1>\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 8:39 am
Δείξτε ότι για κάθε $x , y \in \mathbb{R}$ , ισχύει : $x^2+y^2+1>\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$

H ανισότητα γράφεται, 5x^2+5y^2+5-4x-4y-4xy>0,

απ' όπου

$\displaystyle ({x^2} - 4xy + 4{y^2}) + (4{x^2} - 4x + 1) + ({y^2} - 4y + 4) > 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {(x - 2y)^2} + {(2x - 1)^2} + {(y - 2)^2} > 0,$ που ισχύει, αφού οι παραστάσεις x-2y, 2x-1, y-2

δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα.

KARKAR · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 8:55 am

$\displaystyle {(x - 2y)^2} + {(2x - 1)^2} + {(y - 2)^2} > 0$

Γιατί όχι : $\displaystyle {(2x - y)^2} + {(2y - 1)^2} + {(x - 2)^2} > 0$

Μπορούμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$ ;

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 8:39 am
Δείξτε ότι για κάθε $x , y \in \mathbb{R}$ , ισχύει : $x^2+y^2+1>\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$

Ισοδύναμα θέλουμε 5x^2-4(y+1)x+(5y^2-4y+5)>0

. Ως προς

έχει διακρίνουσα

$\dfrac {D}{4} = -21y^2+28y-21= -21\left ( y-\dfrac {2}{3}\right )^2-\dfrac {35}{3} <0$ . Και λοιπά.

Υπάρχουν και πολλοί άλλοι τρόποι απόδειξης.

.

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 8:55 am
$\displaystyle {(x - 2y)^2} + {(2x - 1)^2} + {(y - 2)^2} > 0$

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 9:13 am
Γιατί όχι : $\displaystyle {(2x - y)^2} + {(2y - 1)^2} + {(x - 2)^2} > 0$

Εννοείται, αφού είναι συμμετρική ως προς x,y

.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 9:13 am

Μπορούμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$ ;

.
Mε οδηγό την λύση που έγραψα παραπάνω θα δούμε ότι ισχύει

$x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy) \ge \dfrac {7}{15}$ με ισότητα όταν $x=y = \dfrac {2}{3}$ , δηλαδή το ελάχιστο είναι $\boxed { \dfrac {7}{15} }$ . Την τιμή αυτή την βρήκα από την προηγούμενη λύση και φροντίζοντας να βγαίνει διακρίνουσα $\le 0$ .

Πράγματι, χωρίς τις πράξεις ρουτίνας, η διαφορά των δύο μελών είναι

$x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy) - \dfrac {7}{15} = \left ( x-\dfrac{2}{5}y- \dfrac{2}{5} \right ) ^2 + \dfrac{7}{3} \left ( \dfrac{3}{5}y- \dfrac{2}{5} \right ) ^2$

Το δεξί μέλος είναι βέβαια $\ge 0$ , με ισότητα $x=y = \dfrac {2}{3}$ .

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 12:12 pm
... θα δούμε ότι ισχύει

$x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy) \ge \dfrac {7}{15}$ με ισότητα όταν $x=y = \dfrac {2}{3}$ , δηλαδή το ελάχιστο είναι $\boxed { \dfrac {7}{15} }$ .

.
Ας το δούμε αλλιώς: Πολλαπλασιάζοντας επί

θέλουμε να δείξουμε ότι

$15x^2+15y^2+8 \ge 12(x+y+xy)$

Αλλά αυτή προκύπτει αμέσως με πρόσθεση κατά μέλη των

$6(x^2+y^2) \ge 12 xy$

$9x^2 +4 \ge 12x$ (υπόψη ότι αυτή ισοδυναμεί με την $(3x-2)^2\ge 0$

$9y^2 +4 \ge 12y$

Με ισότητα όταν έχουμε ισότητες και στις τρεις προηγούμενες, δηλαδή όταν $x=y=\dfrac {2}{3}$

H λύση αυτή δίνει εύκολη απόδειξη και της αρχικής ανισότητας, στο ποστ #1. Συγκεκριμένα, προσθέτουμε στις τρεις προηγούμενες και την 7>0

. Με άλλα λόγια, η αρχική ανισότητα είναι αρκετά χαλαρή.

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 28, 2026 9:13 am

Μπορούμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$ ;

Θεωρώ την παράσταση ως τριώνυμο του

$\displaystyle f(x) = {x^2} - \frac{4}{5}(y + 1)x + {y^2} + 1 - \frac{{4y}}{5},$ που έχει ελάχιστο

για $\displaystyle x = \frac{2}{5}(1 + y).$ Αν κάνω το ίδιο με τριώνυμο του

θα έχουμε ελάχιστο όταν $y=\dfrac{2}{5}(x+1).$

Από τα παραπάνω, η παράσταση έχει για $\boxed{x=y=\frac{2}{3}}$ ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{f_{\rm min}=\frac{7}{15}}$

KARKAR · #9

Οι δύο τελευταίες αναρτήσεις του Μιχάλη και του Γιώργου , θα έλεγε κανείς ότι είναι

" λόγοι για να αγαπήσει κανείς τα Μαθηματικά " !

Πάνω από το 80%

Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Re: Πάνω από το 80%

Μέλη σε σύνδεση