Ελάχιστο και λόγος

KARKAR · #1

Αν :

και :

, υπολογίστε το ελάχιστο της παράστασης : $\dfrac{y^2+x^2}{y-x}$ .

Ποιος είναι τότε ο λόγος : $\dfrac{y}{x}$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 09, 2026 9:30 am
Αν : και : , υπολογίστε το ελάχιστο της παράστασης : $\dfrac{y^2+x^2}{y-x}$ .

Ποιος είναι τότε ο λόγος : $\dfrac{y}{x}$ ;

$\displaystyle \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{y - x}} = \frac{{{{(y - x)}^2} + 2xy}}{{y - x}} = y - x + \frac{{2p}}{{y - x}}$ και θέτοντας y-x=t

η ζητούμενη παράσταση γράφεται

$\displaystyle f(t) = t + \frac{{2p}}{t},$ που έχει για $\boxed{t=\sqrt{2p}}$ ελάχιστη τιμή $\boxed{f_{\rm min}=2\sqrt{2p}}$

Τώρα είναι $xy=p, y-x=\sqrt{2p}, 0<x<y$ και εύκολα βρίσκω $\boxed{\frac{y}{x}=2+\sqrt 3}$

Ελάχιστο και λόγος

Ελάχιστο και λόγος

Re: Ελάχιστο και λόγος

Μέλη σε σύνδεση