Ισότητα συνόλων

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών x,y,z

για τις οποίες αληθεύει η ισότητα των συνόλων

$\left\{ x, y, z \right\} = \left\{ \dfrac{x-y}{y-z}, \dfrac{y-z}{z-x}, \dfrac{z-x}{x-y} \right\}$ .

add2math · #2

Προφανώς πρέπει τα x,y,z

να είναι διάφορα μεταξύ τους. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι x<y<z

.
Τότε $\dfrac{x-y}{y-z}>0$ , $\dfrac{y-z}{z-x}<0$ , $\dfrac{z-x}{x-y}<0$ .
Άρα $max=z=\dfrac{x-y}{y-z}\Leftrightarrow x-y=yz-z^2$
Τα δυο ίσα σύνολα θα έχουν το ίδιο γινόμενο στοιχείων, άρα $xyz= \dfrac{x-y}{y-z}\cdot \dfrac{y-z}{z-x}\cdot \dfrac{z-x}{x-y} =1$
Από την ανισότητα ab<(a+b)^2

έχω $(y-z)(x-y)< (y-z+x-y)^2=(x-z)^2\Leftrightarrow \dfrac{y-z}{z-x}>\dfrac{z-x}{x-y}$ αφού (z-x)(x-y)<0

.

Άρα $min=x=\dfrac{z-x}{x-y}$
Οπότε $xyz=\dfrac{yz^2-xyz}{x-y}\Leftrightarrow 1=\dfrac{yz^2-1}{x-y} \Leftrightarrow yz^2-1=x-y\Leftrightarrow yz^2-1= yz-z^2\Leftrightarrow (z-1)(z+1+yz)=0$

Αν z+1+yz=0

τότε $y=\dfrac{1+z}{-z}$ και αφού xyz=1

έχουμε $x=\dfrac{1}{yz}=\dfrac{-1}{z+1}$
Ελέγχουμε τώρα το σύνολο των λύσεων $(x,y,z)=( \dfrac{-1}{z+1},\dfrac{1+z}{-z},z), z\neq-1,0$
Έχουμε
$x-y=-\dfrac{1}{z+1}+\frac{1+z}{z}=\frac{1+z+z^2}{z(z+1)}$ , $y-z=-\dfrac{1+z}{z}-z=-\dfrac{1+z+z^2}z$ , $z-x=z+\dfrac{1}{z+1}=\dfrac{1+z+z^2}{z+1}$
Τότε οι τρεις λόγοι γίνονται
$\dfrac{x-y}{y-z}=\dfrac{\dfrac{1+z+z^2}{z(z+1)}}{-\dfrac{1+z+z^2}{z}}=-\dfrac{1}{z+1}=x$ ,
$\dfrac{y-z}{z-x}=\dfrac{-\dfrac{1+z+z^2}{z}}{\dfrac{1+z+z^2}{z+1}}=-\dfrac{z+1}{z}=y$ ,
$\dfrac{z-x}{x-y}=\dfrac{\dfrac{1+z+z^{2}}{z+1}}{\dfrac{1+z+z^{2}}{z(z+1)}}=z$ .
Επομένως $\{\dfrac{x-y}{y-z}, \dfrac{y-z}{z-x},\dfrac{z-x}{x-y}\}=\{x,y,z\}$ , όπως θέλαμε.

Al.Koutsouridis · #3

add2math έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 02, 2026 9:33 pm
Προφανώς πρέπει τα να είναι διάφορα μεταξύ τους. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι .
...
Άρα $\left\{x,y,z} \right\}=\left\{ -2,-1/2,1\right\}$

Ευχαριστούμε για την λύση. Θέλει λίγο προσοχή παραπάνω, υπάρχουν και άλλες λύσεις π.χ. $(x,y,z)= \left (3, -\dfrac{1}{4}, -\dfrac{4}{3} \right )$ .

Ισότητα συνόλων

Ισότητα συνόλων

Re: Ισότητα συνόλων

Re: Ισότητα συνόλων

Μέλη σε σύνδεση