Ανόμοια αλλά ισοδύναμα

KARKAR · #1

: Ανόμοια αλλά ισοδύναμα.png (10.24 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές

Σημείο

κινείται στην διαγώνιο

του τετραγώνου ABCD

, έτσι ώστε η

να τέμνει την πλευρά

στο

και την προέκταση της

στο

. Βρείτε την θέση του

, για την οποία : (DCS)=(PBT)

.

Υπενθυμίζεται ότι εξισώσεις τρίτου ή τετάρτου βαθμού θεωρούνται επιλύσιμες ( έστω με χρήση λογισμικού )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 31, 2026 12:54 pm
Ανόμοια αλλά ισοδύναμα.pngΣημείο κινείται στην διαγώνιο του τετραγώνου , έτσι ώστε η να τέμνει την πλευρά

στο και την προέκταση της στο . Βρείτε την θέση του , για την οποία : .

Χωρίς βλάβη το τετράγωνο έχει πλευρά

, άρα οι κορυφές του είναι οι $A(0,0), \, B(1,0), \, C(1,1),\, D(0,1)$ . Αν BP=a

(ζητούμενο) τότε είναι P(1,a)

και η ευθεία

είναι η

.

Από την εξίσωση αυτή εύκολα βρίσκουμε ότι είναι $S\left ( \dfrac {1}{2-a}, \dfrac {1}{2-a} \right )$ και $T\left ( \dfrac {1}{1-a}, 0} \right )$ .

Άρα τα τρίγωνα DCS, PBT

έχουν εμβαδά $(DCS) = \dfrac {1}{2} \cdot 1 \cdot \left (1- \dfrac {1}{2-a}\right ) = \dfrac {1-a}{2(2-a)}$ και $(PBT)= \dfrac {1}{2} \cdot a \cdot \left ( \dfrac {1}{1-a}-1\right ) = \dfrac {a^2}{2(1-a)}$

H ισότητα (DCS)=(PBT)

γίνεται, μετά τις πράξεις, a^3-a^2-2a+1=0

. Βρίσκουμε τις ρίζες (το έκανα με λογισμικό) και κρατάμε αυτήν με 0<a<1

.

Είναι η $a \approx 0,445}$ από όπου $\boxed {S \approx (0,645, \, 0,645)}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 31, 2026 12:54 pm
Ανόμοια αλλά ισοδύναμα.pngΣημείο κινείται στην διαγώνιο του τετραγώνου , έτσι ώστε η να τέμνει την πλευρά

στο και την προέκταση της στο . Βρείτε την θέση του , για την οποία : .

Υπενθυμίζεται ότι εξισώσεις τρίτου ή τετάρτου βαθμού θεωρούνται επιλύσιμες ( έστω με χρήση λογισμικού )

Χωρίς βλάβη, ας είναι

η πλευρά του τετραγώνου κι έστω BT=x

Ισχύει, $\dfrac{CS}{SA}= \dfrac{CD}{AT}= \dfrac{1}{x+1} \Rightarrow \dfrac{CE}{CA}= \dfrac{1}{x+2} =\dfrac{SE}{1} \Rightarrow SE= \dfrac{1}{x+2}$

Ακόμη $\dfrac{PB}{AD} = \dfrac{TB}{TA} \Rightarrow PB= \dfrac{x}{x+1}$

$2(DSC)=2(PBT) \Rightarrow \dfrac{1}{x+2} .1= \dfrac{x}{x+1} .x \Rightarrow x^3+2x^2-x-1=0 \Rightarrow x \approx 0.8019$

: Ανόμοια αλλά ισοδύναμα.png (14.25 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές

Ανόμοια αλλά ισοδύναμα

Ανόμοια αλλά ισοδύναμα

Re: Ανόμοια αλλά ισοδύναμα

Re: Ανόμοια αλλά ισοδύναμα

Μέλη σε σύνδεση