Προοδευτική πρόοδος

#1

Να βρεθεί το άθροισμα

7+77x+777x^2+7777x^3+77777x^4+...

(Για κατάλληλα

)

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ελεύθερα το γενονός ότι για την γεωμετρική πρόοδο έχουμε $1+t+t^2+t^3+t^4+... = \dfrac {1}{1-t}$ (για |t|<1

).

Nikitas K. · #2

Ισχύει:
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} t^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} t^{n} = \dfrac{1}{1-t}~\color{blue} (0)$ (για |t|<1

)

Υπολογισμός αθροίσματος (για κατάλληλα

):

$\displaystyle 7+77x+777x^2+ + 7777x^3 + 77777x^4 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \left(7\cdot\dfrac{10^n - 1}{9}x^{n-1}\right)= \dfrac{7}{9} \sum_{n=1}^{\infty} \left[(10^n-1)x^{n-1}\right]$

$\displaystyle = \dfrac{7}{9} \left[ 10 \sum_{n=1}^{\infty} (10x)^{n-1} - \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} \right] \overset{{\color{blue} (0)}}= \dfrac{7}{9} \left(\dfrac{10}{1-10x} - \dfrac{1}{1-x} \right) = \dfrac{7}{(1-x) (1-10x)}$

#3

΄

Αυτό είχα κατά νου.

Ένας δεύτερος τρόπος εξ ίσου απλός (αλλά δεν κάνει για Λύκειο) είναι από την παρατήρηση ότι, για τετριμμένους λόγους, η δοθείσα δυναμοσειρά είναι το γινόμενο κατά Cauchy των

7(1+x+x^2+x^3+x^4+... )(1+10x+10^2x^2+10^3x^3+10^4x^4+...)

που δίνει αμέσως το ίδιο αποτέλεσμα. Εξηγεί μάλιστα καλύτερα την εν λόγω ισότητα.

Nikitas K. · #4

Επιπρόσθετα, για καλύτερη κατανόηση της παρακάτω ισότητας παραπέμπω στην απόδειξη του κ. Δημήτρη εδώ, η οποία εστιάζει στην μορφή που έχουν οι συντελεστές του ζητουμένου αθροίσματος.

Nikitas K. έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 01, 2025 3:51 pm
...
$\displaystyle 7+77x+777x^2+ + 7777x^3 + 77777x^4 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \left(7\cdot\dfrac{10^n - 1}{9}x^{n-1}\right)$
...

Προοδευτική πρόοδος

Προοδευτική πρόοδος

Re: Προοδευτική πρόοδος

Re: Προοδευτική πρόοδος

Re: Προοδευτική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση