Ανισότητα υπό συνθήκη

Tolaso J Kos · #1

Έστω

θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a+b=1

. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{1}{b} \right)^2 \geq \frac{25}{2}}$

panosgl2006 · #2

Αυτή είναι μια κλασσική εφαρμογη της ανισοτητας cauchy schwarz και πάει ως εξής:
$\displaystyle (1^2+1^2)\left( \left( a+\frac{1}{a}\right)^2+\left( b+\frac{1}{b} \right)^2\right)\geq \left( a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\right)^2 \ (1)$
όμως
$\displaystyle a+b\geq 2 \sqrt{ab} \Rightarrow 1\geq 4ab \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq 4a+4b=4 \ (2)$
Άρα από (1)

και

$\displaystyle 2\left( \left( a+\frac{1}{a}\right)^2+\left( b+\frac{1}{b}\right)^2\right) \geq 5^2=25$
Αρα προκύπτει η ζητούμενη

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2024 11:58 am
Έστω θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{1}{b} \right)^2 \geq \frac{25}{2}}$

Μπορεί κανείς να δει και εδώ για λίγο γενικότερα

viewtopic.php?f=61&t=76048

KARKAR · #4

, οπότε διαιρώντας δια

, παίρνουμε : $\dfrac{1}{a}=1+\dfrac{b}{a}$ και όμοια : $\dfrac{1}{b}=1+\dfrac{a}{b}$ ,

$\displaystyle{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{1}{b} \right)^2 =\left( a +1+ \frac{b}{a} \right)^2 + \left( b +1 +\frac{a}{b} \right)^2$

$=...a^2+b^2+2(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}+6\geq \dfrac{1}2}+4+2+6=\dfrac{25}{2}$

Προφανώς για : $a=b=\dfrac{1}{2}$ , έχουμε ισότητα .

KARKAR · #5

Θεωρούμε γνωστά τα εξής : $x^2+y^2\geq \dfrac{(x+y)^2}{2}$ και : Αν : x+y=1

, τότε : $xy\leq \dfrac{1}{4}$ .

$\displaystyle{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{1}{b} \right)^2 \geq\dfrac{1}{2}\left(a+b+\dfrac{a+b}{ab}\right)^2 =$

$=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{ab}\right)^2\geq \dfrac{1}{2}(1+4)^2=\dfrac{25}{2}$

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2024 11:58 am
Έστω θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{1}{b} \right)^2 \geq \frac{25}{2}}$

Επειδή η $\left (x+\dfrac {1}{x} \right ) ^2$ είναι κυρτή (άμεσο), έπεται

$\displaystyle{\dfrac {1}{2} \left [ \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{1}{b} \right)^2 \right ] \ge \left ( \dfrac {a +b} {2} + \dfrac{2}{a+b} \right ) ^2= \left ( \dfrac {1} {2} + \dfrac{2}{1} \right ) ^2= \dfrac {25}{4}}$ , από όπου το ζητούμενο.

#7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2024 11:58 am
Έστω θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{1}{b} \right)^2 \geq \frac{25}{2}}$

Από την AM-ΓΜ έχουμε $4a+\dfrac {1}{a}\ge 4$ , άρα $\boxed {a+\dfrac {1}{a} \ge 4-3a} \,(*)$ και όμοια για το

. Επίσης από την $x^2+y^2 \ge \dfrac {1}{2} (x+y)^2$ έχουμε

$\displaystyle{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{1}{b} \right)^2 \ge \dfrac {1}{2} \left ( \left (a + \frac{1}{a} \right) + \left( b + \frac{1}{b} \right)\right )^2 \ge ^{(*)} \dfrac {1}{2} \left ( (4-3a)+(4-3b)\right )^2= \dfrac {1}{2} \left ( 8-3(a+b)\right )^2= \dfrac {25}{2}}$

Ανισότητα υπό συνθήκη

Ανισότητα υπό συνθήκη

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση