Τέλεια διαφορά

M.S.Vovos · #1

Έστω $x,y\in \mathbb{N}$ τέτοιοι, ώστε $3x^{2}+x=4y^{2}+y$ . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός x-y

είναι τέλειο τετράγωνο.

#2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 20, 2022 8:53 pm
Έστω $x,y\in \mathbb{N}$ τέτοιοι, ώστε $3x^{2}+x=4y^{2}+y$ . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.

H σχέση γράφεται 3x^2-3y^2+x-y=y^2

, ισοδύναμα $(3x+3y+1)(x-y)=y^2,\, (*)$ .

Ισχυρίζομαι ότι τα 3x+3y+1

και

είναι πρώτα προς αλλήλους. Πράγματι, αν

διαιρεί και τα δύο, τότε από την (*)

το

διαιρεί το y^2

και άρα το

διαιρεί το

. Αφού όμως ήδη διαιρεί το x-y

σημαίνει ότι διαιρεί και το

, οπότε και το (3x+3y+1)-3x-3y=1

. Άρα

, όπως θέλαμε.

Τώρα, αφού τα 3x+3y+1

και

είναι πρώτα προς αλλήλους, η (*)

δίνει ότι ο κάθε παράγοντας χωριστά είναι τέλειο τετράγωνο. Ειδικά, ο x-y

είναι τέλειο τετράγωνο.

Τέλεια διαφορά

Τέλεια διαφορά

Re: Τέλεια διαφορά

Μέλη σε σύνδεση