Συναρτησιακή εξίσωση 2

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0}\to \mathbb{R}_{>0}$ για τις οποίες ισχύει f(xf(y) + y) = f(xy) + f(y)

για κάθε $x, y\in \mathbb{R}_{>0}.$

Ορέστης Λιγνός · #2

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 06, 2022 12:47 am
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0}\to \mathbb{R}_{>0}$ για τις οποίες ισχύει για κάθε $x, y\in \mathbb{R}_{>0}.$

Αποδεικνύουμε πρώτα τον εξής Ισχυρισμό:

Ισχυρισμός: Η

είναι γνησίως αύξουσα.
Απόδειξη: Έστω a,b>0

με

. Τότε, η δοσμένη με $x=\dfrac{b-a}{f(a)}$ και y=a

δίνει

$f(b)=f(\dfrac{a(b-a)}{f(a)})+f(a)>f(a),$

άρα f(b)>f(a)

, δηλαδή η

είναι γνησίως αύξουσα $\blacksquare$

Στο πρόβλημα, αφού από τον Ισχυρισμό η

είναι γνησίως αύξουσα, είναι και 1-1. Η αρχική με $x \rightarrow \dfrac{x}{y}$ δίνει

$f(\dfrac{xf(y)}{y}+y)=f(x)+f(y),$

οπότε εναλλάσσοντας τα x,y

προκύπτει ότι

$f(\dfrac{yf(x)}{x}+x)=f(x)+f(y),$

συνεπώς

$f(\dfrac{xf(y)}{y}+y)=f(\dfrac{yf(x)}{x}+x),$

και αφού η

είναι 1-1, προκύπτει ότι

$\dfrac{xf(y)}{y}+y=\dfrac{yf(x)}{x}+x$ .

Αυτή με y=1

και

τυχόν δίνει ότι f(x)=x(xf(1)+1-x)

. Αντικαθιστώντας τώρα στην αρχική προκύπτει ότι f(1)=1

, συνεπώς

, για κάθε

.

Εύκολα ελέγχουμε ότι η ταυτοτική επαληθεύει, άρα η $f \equiv \rm id$ είναι η μοναδική λύση.

#3

Συναρτησιακή εξίσωση 2

Συναρτησιακή εξίσωση 2

Re: Συναρτησιακή εξίσωση 2

Re: Συναρτησιακή εξίσωση 2

Μέλη σε σύνδεση