Συναρτησιακή εξίσωση 1

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει f(xf(y) + y) = f(xy) + f(y)

για κάθε $x, y\in \mathbb{R}$

Ορέστης Λιγνός · #2

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 06, 2022 12:45 am
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει για κάθε $x, y\in \mathbb{R}$

Η δοσμένη για x=y=0

δίνει

.

Ισχυρισμός: $f(x) \in \{0, x \}$ , για κάθε

.
Απόδειξη: Έστω

τέτοιο, ώστε $f(k) \neq k$ . Τότε, με $x=\dfrac{k}{k-f(k)}$ και y=k

η δοσμένη δίνει ότι f(k)=0

, όπως θέλαμε $\blacksquare$

Στο πρόβλημα, αν υπήρχε $a \neq 0$ τέτοιο, ώστε f(a) = 0

, τότε με $x=\dfrac{x}{a}$ και y=a

η δοσμένη δίνει f(x)=0

, οπότε η

είναι η μηδενική.

Αν τέτοιο

δεν υπάρχει, τότε από τον Ισχυρισμό f(x)=x

για κάθε $x \neq 0$ , και αφού f(0)=0

, είναι

για κάθε

.

Συνοψίζοντας, μόνες λύσεις η μηδενική και η ταυτοτική συνάρτηση, δηλαδή οι $f \equiv 0$ και $f \equiv \rm id$ .

#3

Συναρτησιακή εξίσωση 1

Συναρτησιακή εξίσωση 1

Re: Συναρτησιακή εξίσωση 1

Re: Συναρτησιακή εξίσωση 1

Μέλη σε σύνδεση