Άθροισμα από άθροισμα

#1

.
Έστω

δοσμένος θετικός φυσικός αριθμός. Θέτουμε $\displaystyle{\sum_{k=1}^{N} \dfrac {1}{k^2} =L}$ . Να βρεθεί το

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{N} \dfrac {2k-1}{k^2(k+1)^2} }$

συναρτήσει του

(και του

).

Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει και για Junior, αρκεί να ξέρουν τι θα πει $\displaystyle{\sum_{k=1}^{N} }$

Tolaso J Kos · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 28, 2025 8:35 pm
.
Έστω δοσμένος θετικός φυσικός αριθμός. Θέτουμε $\displaystyle{\sum_{k=1}^{N} \dfrac {1}{k^2} =L}$ . Να βρεθεί το

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{N} \dfrac {2k-1}{k^2(k+1)^2} }$

συναρτήσει του (και του ).

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{k=1}^{N} \frac{2k-1}{k^2 \left( k+1 \right)^2} & = \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{4}{k} - \frac{4}{k+1} \right)- \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{1}{k^2} + \frac{3}{\left( k+1 \right)^2} \right) \\ & = 4 \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) - \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^2} - \\ & \quad \quad \quad - 3\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{\left( k+1 \right)^2} \\ & = 4 \left( 1 - \frac{1}{N+1} \right) - L - 3 \sum_{k=2}^{N+1} \frac{1}{k^2} \\ & = \frac{4N}{N+1} - L - 3 \left( \sum_{k=2}^{N} \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(N+1)^2} \right) \\ & = \frac{4N}{N+1} - L - 3 \left( \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^2} - 1 + \frac{1}{\left( N+1 \right)^2} \right) \\ & = \frac{4N}{N+1} - L - 3 L +3 - \frac{3}{\left( N+1 \right)^2} \\ & = \frac{\left( 2N-1 \right)\left( 2N+3 \right)}{\left( N+1 \right)^2} - 4L + 3 \end{aligned}}$

Άθροισμα από άθροισμα

Άθροισμα από άθροισμα

Re: Άθροισμα από άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση