Πανάρρητη

KARKAR · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $x^2-\sqrt{x^2+31x-66}+\sqrt{x-2}=4$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 03, 2025 4:12 am
Να λυθεί η εξίσωση : $x^2-\sqrt{x^2+31x-66}+\sqrt{x-2}=4$

H υπόρριζη ποσότητα γράφεται x^2+31x-66=(x-2)(x+33)

, οπότε η εξίσωση γίνεται $(x^2-4)-\sqrt {(x-2)(x+33)} +\sqrt{x-2}=0$ .

Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι το πεδίο ορισμού είναι το $[2, \, +\infty)$ . Έχουμε ακόμη, ισοδύναμα

$\sqrt{x-2}\left ((x+2) \sqrt{x-2}- \sqrt{x+33}+1\right ) =0$ .

Μία ρίζα η x=2

. Άλλη από την $(x+2)\sqrt{x-2}- \sqrt{x+33}+1=0$ . Για την δεύτερη: Μέσω της ισοδύναμης μορφής της

$(x+2)\sqrt{x-2}= \sqrt{x+33}-1$ και ύψωση στο τετράγωνο θα βρούμε

$x^3+2x^2-5x-42= -2\sqrt{x+33}$

Όμως το αριστερό μέλος στο $[2, \, +\infty)$ είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση (το βλέπουμε π.χ. γράφοντάς την ως (x-2)^3+8(x-2)^2+15(x-2)-36

) ενώ το δεξί είναι γνήσια φθίνουσα. Άρα έχει το πολύ μία ρίζα. Η x=3

είναι προφανής ρίζα. Τελικά οι ρίζες της αρχικής είναι οι $\boxed {2, \, 3}$

Edit. Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα που μου υπέδειξη ο Γιώργος, τον οποίο ευχαριστώ θερμά.

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 03, 2025 4:12 am
Να λυθεί η εξίσωση : $x^2-\sqrt{x^2+31x-66}+\sqrt{x-2}=4$

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle (x - 2)(x + 2) - \sqrt {(x - 2)(x + 33)} + \sqrt {x - 2} = 0,x \geqslant 2,$ απ' όπου

$\boxed{x=2}$ ή $\displaystyle (x + 2)\sqrt {x - 2} - \sqrt {x + 33} + 1 = 0,x \geqslant 2$

Θέτω $\displaystyle \sqrt {x - 2} = t \geqslant 0$ και έχω:

$\displaystyle t({t^2} + 4) + 1 = \sqrt {{t^2} + 35} \Leftrightarrow {t^6} + 8{t^4} + 2{t^3} + 15{t^2} + 8t - 34 = 0$

Με $\rm Horner$ καταλήγω στην $\displaystyle (t - 1)({t^5} + {t^4} + 9{t^3} + 11{t^2} + 26t + 34) = 0,t \geqslant 0$

Άρα t=1

και $\boxed{x=3}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 03, 2025 4:12 am
Να λυθεί η εξίσωση : $x^2-\sqrt{x^2+31x-66}+\sqrt{x-2}=4$

Ας λύσουμε και το ξαδελφάκι της

$\sqrt {x^2-4}-\sqrt{x^2+31x-66}+\sqrt{x-2}=0$

(στην θέση της δοθείσας στην ισοδύναμη μορφή $x^2-4-\sqrt{x^2+31x-66}+\sqrt{x-2}=0$ .

Δεν πρόκειται για τίποτα ουσιαστικό, αλλά μου προξένησε το ενδιαφέρον γιατί και το ξαδελφάκι έχει δύο ακέραιες ρίζες.

Nikitas K. · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 03, 2025 7:02 pm
...
Ας λύσουμε...

$\sqrt {x^2-4}-\sqrt{x^2+31x-66}+\sqrt{x-2}=0$
...

Ο αριθμός

αποτελεί ρίζα της εξίσωσης, αφού κάθε όρος έχει κοινό τον παράγοντα $\sqrt{x-2}$

Αναζητώντας ρίζα στο διάστημα $\left(2,+\infty\right)$ έχουμε $\sqrt{x+2} + 1 = \sqrt{x+33} \overset{~LHS^2=RHS^2}{\Rightarrow}\sqrt{x+2}} = 15 \Rightarrow {x=223}$

Επομένως οι ζητούμενες λύσεις είναι ο αριθμός

και ο αριθμός 223

Πανάρρητη

Πανάρρητη

Re: Πανάρρητη

Re: Πανάρρητη

Re: Πανάρρητη

Re: Πανάρρητη

Μέλη σε σύνδεση