Το δίλημμα

KARKAR · #1

Δίνεται το σύστημα : $\begin{matrix} x+y+z & =3\\ x^2+y^2+z^2 &=45 \\ x^3+y^3+z^3 &=69 \end{matrix}$

Ή λύστε το ή υπολογίστε το : xyz

(χωρίς να το λύσετε ) !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 26, 2025 7:03 am
Δίνεται το σύστημα : $\begin{matrix} x+y+z & =3\\ x^2+y^2+z^2 &=45 \\ x^3+y^3+z^3 &=69 \end{matrix}$

Ή λύστε το ή υπολογίστε το : (χωρίς να το λύσετε ) !

$\displaystyle xy + yz + zx = \frac{{{{(x + y + z)}^2} - ({x^2} + {y^2} + {z^2})}}{2} = \frac{{9 - 45}}{2} = - 18$

$\displaystyle {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = (x + y + z)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} - (xy + yz + zx)} \right]$

$\displaystyle 69 - 3xyz = 3\left( {45 + 18} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{xyz=-40}$

#3

Ας δούμε και τη λύση. Κρατάω από το προηγούμενο ότι xyz=-40.

$\displaystyle {(x + y)^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy \Leftrightarrow {(3 - z)^2} = 45 - {z^2} + 2\frac{{( - 40)}}{z} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {z^3} - 3{z^2} - 18z + 40 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{Horner} (z - 2)({z^2} - z - 20) = 0 \Leftrightarrow z = 2 \vee z = - 4 \vee z = 5$

Επειδή όμως το σύστημα είναι συμμετρικό, θα είναι

$\displaystyle (x,y,z) \in \left\{ {( - 4,2,5),( - 4,5,2),(2, - 4,5),(2,5, - 4),(5, - 4,2),(5,2, - 4)} \right\}$

Το δίλημμα

Το δίλημμα

Re: Το δίλημμα

Re: Το δίλημμα

Μέλη σε σύνδεση