Άπειρες λύσεις

#1

Να βρείτε όλες τις τιμές του ακεραίου

για τις οποίες η εξίσωση xy^2+y^2-x-y=n

έχει άπειρες ακέραιες λύσεις (x,y).

#2

Όταν

, έχουμε άπειρες λύσεις της μορφής (k,1)

, με

ακέραιο.
Όταν n=2

, έχουμε άπειρες λύσεις της μορφής (k,-1)

, με

ακέραιο.
Υποθέτουμε τώρα ότι $n\neq 0,2$ .
Τότε εύκολα βλέπουμε ότι $y^2-1\neq 0$ , οπότε $\displaystyle{\x=\frac{n+y-y^2}{y^2-1}.}$
Επειδή ο

είναι ακέραιος πρέπει $y-1\mid n$ , οπότε $|y-1|\leq |n|$ . Επομένως το

είναι φραγμένο. Επιπλέον, για κάθε τέτοια τιμή του

, έχουμε το πολύ μία τιμή του

, οπότε το πλήθος των ζευγών (x,y)

είναι πεπερασμένο.