Πολλαπλάσιο του 7

#1

Δείξτε ότι αν $a,\,b,\, c$ είναι ακέραιοι, τότε ο abc(a^3-b^3)(b^3-c^3)(c^3-a^3)

είναι πολλαπλάσιο του

.

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας. Θα την έλεγα κατάλληλη για επίπεδο Θαλή ή, έστω, εύκολη επιπέδου Ευκλείδη.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 19, 2019 7:26 pm
Δείξτε ότι αν $a,\,b,\, c$ είναι ακέραιοι, τότε ο είναι πολλαπλάσιο του .

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Θα την έλεγα κατάλληλη για επίπεδο Θαλή ή, έστω, εύκολη επιπέδου Ευκλείδη.

Τα κυβικά υπόλοιπα $\pmod 7$ είναι -1,0,1

.Αν κάποιος εκ των a,b,c

είναι πολλαπλάσιο του

τελειώσαμε.Αν όχι τότε οι κύβοι τουλάχιστον

από αυτούς θα αφήνουν το ίδιο υπόλοπο $\pmod 7$ και το ζητούμενο έπεται.

#3

Είπαμε

ώρες αλλά μάλλον σου πήρε

δευτερόλεπτα. Τα σέβη μου.

christinat · #4

Έστω $A=abc(a^{3}-b^{3})(b^{3}-c^{3})(c^{3}-a^{3})$

Αν κάποιος από τους a,b,c διαιρείται με το

τοτε προφανώς 7|A

Αν όμως ισχύει ότι (a,7)=1

και

τοτε από μικρό θεώρημα του Fermat

προκύπτει ότι

$a^{6}\equiv 1(mod7)\Rightarrow a^{3}\equiv \pm 1(mod7)$

$b^{6}\equiv 1(mod7)\Rightarrow b^{3}\equiv \pm 1(mod7)$

$c^{6}\equiv 1(mod7)\Rightarrow c^{3}\equiv \pm 1(mod7)$

Αν $a\equiv b\equiv c\equiv 1(mod 7)$ τοτε $a^{3}-b^{3}\equiv b^{3}-c^{3}\equiv c^{3}-a^{3}\equiv 0(mod7)$

Αντίστοιχα αν $a\equiv b\equiv c\equiv -1(mod7)$
τοτε $a^{3}-b^{3}\equiv b^{3}-c^{3}\equiv c^{3}-a^{3}\equiv 0(mod7)$

Αν τωρα δυο από τους a,b,c είναι ισοϋπόλοιποι με το 1(mod7)

τότε προφανώς κάποιος από τους
$a^{3}-b^{3}$ , $b^{3}-c^{3}$ , $c^{3}-a^{3}$ θα είναι ισουπόλοιπος με το 0(mod7)

Το ίδιο ισχύει και αν δύο από τους a,b,c είναι ισοϋπόλοιποι με το -1(mod7)

Άρα σε κάθε περίπτωση 7|A

#5

Δεν βλέπω ουσιαστική διαφορά από αυτά που έγραψε ο Πρόδρομος παραπάνω. Ίσα ίσα τα έγραψε κομψότερα και χωρίς να πλατειάζει.

petrosqw · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 19, 2019 11:49 pm
Δεν βλέπω ουσιαστική διαφορά από αυτά που έγραψε ο Πρόδρομος παραπάνω. Ίσα ίσα τα έγραψε κομψότερα και χωρίς να πλατειάζει.

Το να συγκρίνουμε τις λύσεις δύο μαθητών δεν νομίζω να ωφελεί ούτε αυτούς ούτε κανέναν
Δεν νομίζω ότι εδώ στο mathematica αρμόζει να μπαίνουμε σε τέτοιες συγκρίσεις

Ευχαριστώ

#7

Μια πιο hi-tech για ποικιλία.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι κανένα από τα a,b,c

δεν είναι πολλαπλάσιο του

.

Από την ορίζουσα Vandermonde έχουμε $\displaystyle (a^3-b^3)(b^3-c^3)(c^3-a^3) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^3 & b^3 & c^3 \\ a^6 & b^6 & c^6 \end{vmatrix}$

Όμως modulo 7 η ορίζουσα είναι ίση με

αφού από το μικρό Θεώρημα Fermat η τελευταία σειρά είναι modulo 7 ίδια με την πρώτη.

Πολλαπλάσιο του 7

Πολλαπλάσιο του 7

Re: Πολλαπλάσιο του 7

Re: Πολλαπλάσιο του 7

Re: Πολλαπλάσιο του 7

Re: Πολλαπλάσιο του 7

Re: Πολλαπλάσιο του 7

Re: Πολλαπλάσιο του 7

Μέλη σε σύνδεση