Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $x,y\in \mathbb{R}$

Να δείξετε ότι

$(x^{3}+(x+y)^{3})(y^{3}+(x+y)^{3})\leq 4(x+y)^{6}$

πότε έχουμε ισότητα;

Διορθώθηκε η εκφώνηση.
Ευχαριστώ τον Σωτήρη Χασάπη ,τον Γιώργο Βισβίκη και JimNt για την επισήμανση.

JimNt. · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2019 12:41 am
Εστω $x,y\in \mathbb{R}$

Να δείξετε ότι

$(x^{3}+(x+y)^{3})(y^{3}+(x+y)^{3})\leq 4(x+y)^{3}$

πότε έχουμε ισότητα;

Προφανώς και δεν ισχύει. Θέτω x=ky

με

,

θετικό. Πρέπει λοιπόν, $y^3(k^3+(k+1)^3)(1+(k+1)^3) \le 4(k+1)^3$ , που δεν ισχύει για μεγάλα

. (αν θέσουμε k=-1/3

εφαρμόζεται το ίδιο επιχείρημα, καθώς και για αρνητικούς (ίδιο με πάνω αλλά με |y| αρκετά μικρό)).

#3

Μάλλον το δεξί μέλος θέλει έκτη αντί τρίτη δύναμη.

Η ανισότητα είναι προφανής για x=0

ή

. Αλλιώς θέτουμε y=kx

και το ζητούμενο γίνεται

$\displaystyle 4(k+1)^6 \geqslant (k^3+(k+1)^3)(1+(k+1)^3)$

Εν αναμονή καλύτερης απόδειξης, αυτό είναι ισοδύναμο (σύμφωνα με το wolframalpha) με το

$\displaystyle (k^2+3k+1)^2(2k^2+3k+2) \geqslant 0$

το οποίο ισχύει αφού η διακρίνουσα του

είναι αρνητική.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

JimNt. έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2019 11:22 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2019 12:41 am
Εστω $x,y\in \mathbb{R}$

Να δείξετε ότι

$(x^{3}+(x+y)^{3})(y^{3}+(x+y)^{3})\leq 4(x+y)^{3}$

πότε έχουμε ισότητα;
Προφανώς και δεν ισχύει. Θέτω με , θετικό. Πρέπει λοιπόν, $y^3(k^3+(k+1)^3)(1+(k+1)^3) \le 4(k+1)^3$ , που δεν ισχύει για μεγάλα . (αν θέσουμε εφαρμόζεται το ίδιο επιχείρημα, καθώς και για αρνητικούς (ίδιο με πάνω αλλά με |y| αρκετά μικρό)).

Ευχαριστώ.
Πάντως πολύ πιο απλά αν πάρει κάποιος x=y=1

βλέπει ότι δεν ισχύει.

Διόρθωσα την εκφώνηση.

#5

Θέτω $\displaystyle x + y = a,xy = b$ και καταλήγω στη σχέση:

$\displaystyle (2{a^2} - b){({a^2} + b)^2} \ge 0 \Leftrightarrow (2{x^2} + 3xy + 2{y^2}){({x^2} + 3xy + {y^2})^2} \ge 0,$ που ισχύει. Η ισότητα ισχύει

για $2{x^2} + 3xy + 2{y^2}=0 \Leftrightarrow \boxed{x=y=0}$ ή $\displaystyle {x^2} + 3xy + {y^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{y}{2}\left( { - 3 \pm \sqrt 5 } \right)}$

#6

Λίγο διαφορετικά. Λόγω ομοιογένειας, θέτω x+y=1

. Τότε
$\displaystyle{(x^3+1)(y^3+1)=x^3y^3+x^3+y^3+1=(xy)^3+(x+y)((x+y)^2-3xy))+1$ =(xy)^3-3xy+2=(xy-1)^2(xy+2)}

.
Προφανώς το μέγιστο ισχύει όταν $xy\geq -2$ . Επιπλέον $xy\leq\frac{1}{4}$ οπότε και ο όρος 1-xy

είναι θετικός.
Επομένως εφαρμόζουμε ΑΜ-ΓΜ και έχουμε
$\displaystyle{(xy-1)^2(xy+2)=\frac{(1-xy)(1-xy)(2xy+4)}{2}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1-xy+1-xy+2xy+4}{3}\right)^3=4.}$

Η ισότητα ισχύει όταν xy=-1

και

.

ksofsa · #7

Λίγο διαφορετικά:

Θεωρώ

x+y=1

Τότε

$(x^3+1)(y^3+1)-4=x^3y^3+x^3+y^3-3=x^3y^3+x^3+y^3+(-1)^3-2=x^3y^3-3xy-2= (xy+1)^2(xy-2)\leq 0$ ,

που ισχύει διότι $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}<2$

Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Μέλη σε σύνδεση