Μοναδική λύση

sov_arvyd · #21

christinat έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 29, 2019 12:46 am
$x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0$

Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει:

$D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0$ (1)

Πρέπει $D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=\pm 4e^{3}$

Αν $a=-4e^{3}$ η εξίσωση (1) είναι αδύνατη
Αν $a=4e^{3}$ η (1) έχει μοναδική ρίζα

Άρα $a=4e^{3}$

Δεν νομίζω πως το κοκκινισμένο είναι σωστό σαν συλλογισμός. Για παράδειγμα η $x^2+x-\eta \mu x=0$ έχει μοναδική λύση το

, αν όμως πάρω την "διακρίνουσά" της ως εξής: $D(x)=1+4\eta \mu x$ , η μοναδική λύση της εξίσωσης δεν μηδενίζει την "διακρίνουσα".

christinat · #22

sov_arvyd έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 29, 2019 9:42 am

christinat έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 29, 2019 12:46 am
$x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0$

Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει:

$D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0$ (1)

Πρέπει $D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0\Rightarrow a=\pm 4e^{3}$

Αν $a=-4e^{3}$ η εξίσωση (1) είναι αδύνατη
Αν $a=4e^{3}$ η (1) έχει μοναδική ρίζα

Άρα $a=4e^{3}$
Δεν νομίζω πως το κοκκινισμένο είναι σωστό σαν συλλογισμός. Για παράδειγμα η $x^2+x-\eta \mu x=0$ έχει μοναδική λύση το , αν όμως πάρω την "διακρίνουσά" της ως εξής: $D(x)=1+4\eta \mu x$ , η μοναδική λύση της εξίσωσης δεν μηδενίζει την "διακρίνουσα".

Όντως δεν είναι σωστός γιατί η διακρινουσα είναι συνάρτηση του χ
Αλλά δεν πιστεύω ότι υπάρχει άλλος τρόπος που λύνεται με γνώσεις μέχρι β'λυκειου
Διαφορετικά,λύνεται εύκολα με μονοτονία και παραγωγούς

panagiotis iliopoulos · #23

Εγώ έθεσα $f(x)=ln(\frac{ax}{x^{2}+4})-x^{2}+4x-7$ με $f'(x)=\frac{(x-2)(-2x^{3}-9x-2)}{x(x^{2}+4)}$ . Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στο

το

. Συνεπώς το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το (-00,f(2)]

. Αν

τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, αν f(2)> 0

η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες. Άρα για να έχει μοναδική λύση πρέπει $f(2)=0\Leftrightarrow a=4e^{3}$ .

#24

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 12, 2019 11:42 am
Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$ , έχει μέγιστη τιμή το $\dfrac{1}{4}$ , για .

Πράγματι για : $\dfrac{x}{x^2+4}\leq \dfrac{1}{4}\Leftarrow 4x\leq x^2+4\Leftarrow 0\leq(x-2)^2$ , το οποίο ισχύει .

Συνεπώς η $\dfrac{ax}{x^2+4} , a>0$ , έχει μέγιστο το $\dfrac{a}{4}$ , για αλλά και η $g(x)=\ell n\dfrac{ax}{x^2+4}$

έχει μέγιστο το $\ell n\dfrac{a}{4}$ , για . Φυσικά η , έχει ελάχιστο το , για .

Οι δύο καμπύλες έχουν μοναδικό κοινό σημείο , όταν το μέγιστο της συμπέσει με το ελάχιστο της ,

( αφού και τα δύο επιτυγχάνονται για , δηλαδή αν : $\ell n\dfrac{a}{4}=3\Leftrightarrow a=4e^3$ .Μοναδική λύση.png

Σημείωση : Η μοναδικότητα του ελαχίστου της είναι γνωστή . Η μοναδικότητα του μεγίστου της ,παρότι

μπορεί να βρεθεί , θεωρώ ότι δεν απαιτείται , αφού η εύρεση του ενός κοινού σημείου , αυτόματα αποκλείει

την ύπαρξη δεύτερου , διότι για κάθε άλλο είναι $g(x)\leq 3$ και