Πλευρές τριγώνου

#1

είναι το ύψος τριγώνου ABC.

Αν

και $C\widehat AD=3B\widehat AD,$ να βρείτε τα μήκη των

πλευρών του τριγώνου ABC.

(Επειδή η άσκηση είναι σε φάκελο άλγεβρας, θα παρακαλούσα οι εξισώσεις που θα

προκύψουν να λυθούν κανονικά και να μη δοθούν απαντήσεις του στυλ: "Λύνω την εξίσωση και κρατάω τη δεκτή ρίζα...").

Δίνεται το μαθητικό 24ωρο.

Σημείωση: Η άσκηση μπήκε σε αυτό το φάκελο για την αλγεβρική και τριγωνομετρική της λύση. Υπάρχει όμως γεωμετρική λύση πολύ απλούστερη (για φάκελο Β' λυκείου). Το διευκρινίζω επειδή μπορεί κάποιος να αναρωτηθεί, γιατί τόσο βαρύς φάκελος σε μια τόσο απλή άσκηση! Όλες οι λύσεις πάντως,είναι δεκτές.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Φέρω διχοτόμο

,οπότε

ισοσελές

και

Με θεώρημα διχοτόμων παίρνουμε $\dfrac{AB}{BL}=\dfrac{AC}{CL}\Leftrightarrow \dfrac{a}{2}=\dfrac{3a}{BC-2}\Leftrightarrow BC-2=6\Leftrightarrow BC=8$
Επιπλέον

$\left\{\begin{matrix} & AD^2=a^2-1 & \\ & AD^2=9a^2-49 & \end{matrix}\right\Leftrightarrow 8a^2=48\Leftrightarrow a=\sqrt{6}$

Άρα $AB=a=\sqrt{6}$ και $AC=3a=3\sqrt{6}$ και BC=8

.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ! Μετά την ωραία λύση του Πρόδρομου ας δούμε μια κατ' εξοχήν τριγωνομετρική :

: Πλευρές τριγώνου.PNG (5.54 KiB) Προβλήθηκε 1202 φορές

Με τον Ν. ημιτόνων στο ABC

παίρνουμε
$\dfrac{\eta \mu B}{\eta \mu C}=\dfrac{AC}{AB}=3\Rightarrow \eta \mu \left ( 90^{0}-\varphi \right )=3\eta \mu \left ( 90^{0}-3\varphi \right )\Rightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi =3\sigma \upsilon \nu 3\varphi =3\left ( 4\sigma \upsilon \nu ^{3}\varphi -3\sigma \upsilon \nu \varphi \right )$

$\Rightarrow 12\sigma \upsilon \nu ^{3}\varphi -10\sigma \upsilon \nu \varphi =0 \Rightarrow \boxed{\sigma \upsilon \nu ^{2}\varphi=\dfrac{5}{6} }$ δηλ. $\dfrac{AD^{2}}{AB^{2}}=\dfrac{5}{6}$ ενώ και $AB^{2}-AD^{2}=1$ άρα $AB^{2}=6\Rightarrow AB=\sqrt{6}...AC=3\sqrt{6}$ .

Ακόμη $\sigma \upsilon \nu 2\varphi =2\sigma \upsilon \nu ^{2}\varphi -1=\dfrac{2}{3}$ και $\sigma \upsilon \nu A=2\sigma\upsilon \nu ^{2}\left ( 2\varphi \right )-1=-\dfrac{1}{9}$ .

Τέλος με τον Ν. συνημιτόνων στο τρίγωνο ABC

βρίσκουμε $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\sigma \upsilon \nu A=..=64\Rightarrow AB=8$
Φιλικά, Γιώργος.

#4

Ευχαριστώ τον Πρόδρομο για την ωραία γεωμετρική του λύση και τον Γιώργο για την εξίσου ωραία τριγωνομετρική.

Η δική μου μοιάζει περισσότερο με του Γιώργου. Γράφω τα κύρια βήματα της λύσης:

Από $\displaystyle \sin \varphi = \frac{1}{c},\sin 3\varphi = \frac{{CD}}{{3c}} \Rightarrow \frac{3}{c} - \frac{4}{{{c^3}}} = \frac{{CD}}{{3c}} \Leftrightarrow CD = \frac{{9{c^2} - 12}}{{{c^2}}}$

Αλλά, $\displaystyle A{C^2} - A{B^2} = C{D^2} - 1 \Leftrightarrow {c^2} = \frac{{C{D^2} - 1}}{8}$

Από αυτές τις σχέσεις βρίσκω $\displaystyle CD = 7 \Leftrightarrow a = 8$ και με Πυθαγόρειο τις άλλες πλευρές.

Πλευρές τριγώνου

Πλευρές τριγώνου

Re: Πλευρές τριγώνου

Re: Πλευρές τριγώνου

Re: Πλευρές τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση