Εκθετική με Παραγοντικό
Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2
Εκθετική με Παραγοντικό
Να προσδιορίσετε όλες τριάδες θετικών ακεραίων , οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση:
.
.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 30
- Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2021 2:41 pm
Re: Εκθετική με Παραγοντικό
Για: παρατηρούμε πως
Συνεπώς, εξετάζουμε τις περιπτώσεις:
Για , άτοπο.
Για , αν εύκολα προσδιορίζουμε την τριάδα θετικών ακεραίων . Τώρα, για , πρέπει . Είναι, όμως, . Οπότε, θα πρέπει και, κατά συνέπεια, , που είναι, όμως, άτοπο (παρακάτω ποστ)
Τώρα, για , παίρνοντας έχουμε: . Από την τελευταία σχέση, το μικρό θεώρημα Fermat δίνει: . Επομένως, μπορούμε να γράψουμε: . Αντικαθιστώντας την τελευταία στη δοθείσα εξίσωση, έχουμε: . Με εύκολα παίρνουμε πως . Ακόμα παρατηρούμε πως , ενώ . Συνεπώς, για δεν υπάρχει λύση.
Τέλος, για Η εξίσωση γράφεται: , όπου με παίρνουμε ότι ο είναι άρτιος. Όμως, μετά, με παίρνουμε: . Επομένως, άρτιος. Μπορούμε, λοιπόν, να θέσουμε: και με . Η εξίσωση μετά γράφεται: , που προφανώς έχει μοναδική λύση την: . Επομένως, προκύπτει η τριάδα θετικών ακεραίων:
Συνεπώς, οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι οι τριάδες θετικών ακεραίων:
Συνεπώς, εξετάζουμε τις περιπτώσεις:
Για , άτοπο.
Για , αν εύκολα προσδιορίζουμε την τριάδα θετικών ακεραίων . Τώρα, για , πρέπει . Είναι, όμως, . Οπότε, θα πρέπει και, κατά συνέπεια, , που είναι, όμως, άτοπο (παρακάτω ποστ)
Τώρα, για , παίρνοντας έχουμε: . Από την τελευταία σχέση, το μικρό θεώρημα Fermat δίνει: . Επομένως, μπορούμε να γράψουμε: . Αντικαθιστώντας την τελευταία στη δοθείσα εξίσωση, έχουμε: . Με εύκολα παίρνουμε πως . Ακόμα παρατηρούμε πως , ενώ . Συνεπώς, για δεν υπάρχει λύση.
Τέλος, για Η εξίσωση γράφεται: , όπου με παίρνουμε ότι ο είναι άρτιος. Όμως, μετά, με παίρνουμε: . Επομένως, άρτιος. Μπορούμε, λοιπόν, να θέσουμε: και με . Η εξίσωση μετά γράφεται: , που προφανώς έχει μοναδική λύση την: . Επομένως, προκύπτει η τριάδα θετικών ακεραίων:
Συνεπώς, οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι οι τριάδες θετικών ακεραίων:
τελευταία επεξεργασία από ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ σε Παρ Ιουν 04, 2021 10:07 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Εκθετική με Παραγοντικό
Πολύ ωραία λύση (επίσης καλωσόρισες στο ) , όμως μερικά σημεία χρειάζονται προσοχή.
Με έχουμε , άρα .
Με πρέπει . Όμως έχουμε , άρα άτοπο.
Αν , , τότε δεν έχουμε απαραίτητα άτοπο.
Η εξίσωση έχει λύση π.χ. για .
Αφού δείξουμε ότι (άρτιος), μπορούμε να πάρουμε άτοπο μεμιάς και με
(που δίνει , δηλαδή περιττός).
Κατά τ' άλλα τέλεια!
Στην ουσία ισχυρίζεσαι ότι εάν , τότε ο αριθμός είναι δύναμη του 49, που δεν ισχύει π.χ. ο δεν είναι δύναμη του 49.ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑Παρ Ιουν 04, 2021 1:14 pm
Για , αν εύκολα προσδιορίζουμε την τριάδα θετικών ακεραίων . Τώρα, για , πρέπει . Είναι, όμως, . Οπότε, θα πρέπει για τυχόν . Είναι, όμως, , οπότε, θα πρέπει: , άτοπο, οπότε δεν υπάρχουν άλλες λύσεις για .
Με έχουμε , άρα .
Με πρέπει . Όμως έχουμε , άρα άτοπο.
Εδώ δεν νομίζω ότι καταλαβαίνω τον ισχυρισμό, οπότε διόρθωσε με αν κάνω λάθος.ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑Παρ Ιουν 04, 2021 1:14 pm
Τώρα, για , παίρνοντας έχουμε: . Από την τελευταία σχέση, το μικρό θεώρημα Fermat δίνει: . Επομένως, μπορούμε να γράψουμε: . Αντικαθιστώντας την τελευταία στη δοθείσα εξίσωση, έχουμε: . Με εύκολα παίρνουμε πως . Ακόμα παρατηρούμε πως , ενώ . Συνεπώς, για δεν υπάρχει λύση.
Αν , , τότε δεν έχουμε απαραίτητα άτοπο.
Η εξίσωση έχει λύση π.χ. για .
Αφού δείξουμε ότι (άρτιος), μπορούμε να πάρουμε άτοπο μεμιάς και με
(που δίνει , δηλαδή περιττός).
Κατά τ' άλλα τέλεια!
-
- Δημοσιεύσεις: 30
- Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2021 2:41 pm
Re: Εκθετική με Παραγοντικό
Καλησπέρα και σε ευχαριστώ πολύ για την απάντησή σου.
Ξεκινάω με το δεύτερο, όντας πιο σύντομο. Υπήρξε ένα τυπογραφικό λάθος στην δεύτερη παρένθση ήθελα να γράψω και επειδή , έχουμε άτοπο.
Όσον αφορά το πρώτο, έχεις απόλυτο δίκιο, μου διέφυγε! Κάνω τη σχετική διόρθωση.
Σε ευχαριστώ και πάλι!
Ξεκινάω με το δεύτερο, όντας πιο σύντομο. Υπήρξε ένα τυπογραφικό λάθος στην δεύτερη παρένθση ήθελα να γράψω και επειδή , έχουμε άτοπο.
Όσον αφορά το πρώτο, έχεις απόλυτο δίκιο, μου διέφυγε! Κάνω τη σχετική διόρθωση.
Σε ευχαριστώ και πάλι!
Re: Εκθετική με Παραγοντικό
Ωραία! Τότε ήμαστε εντάξει. Να προσθέσω ότι η άσκηση είναι το NT6. από την Jbmo Shortlist 2019.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες