Εκθετική εξίσωση με πρώτους

[Fotis34]

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί και για τους οποίους ισχύει η εξίσωση:



Υγ. Την άσκηση την κατασκεύασα εγώ, εμπνευσμένος από διάφορα προβλήματα που έχω δει στο forum.
Ελπίζω να μην την έβαλα σε λάθος φάκελο.

[∫ot.T.]

Δύο λύσεις παρακάτω σε hint.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Παίρνουμε και και από το μικρό θεώρημα Fermat έχουμε και Έτσι έχουμε δύο ανισότητες που θα δώσουν , άρα κάποιος είναι άρτιος...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Aν και οι δύο πρώτοι ήταν περιττοί τότε το αριστερό μέρος θα ήταν άρτιος, άτοπο. Άρα κάποιος είναι άρτιος. Αν τότε έχουμε άτοπο από . Άρα και μια απλή παραγοντοποίηση επιτάσσει τα να είναι δυνάμεις του . Προφανώς λοιπόν

[Τσιαλας Νικολαος]

Καλησπέρα Φώτη. Συγχαρητήρια για την σκέψη σου. Απλά να αναφέρω ότι η άσκηση δεν έχει τόσο νόημα αφού είναι άμεση εφαρμογή του θεωρήματος Mihailescu ( εικασία Catalan ).

[Fotis34]

Σας ευχαριστώ κύριε Νικόλα και Σωτήρη.

Ακριβώς τις ίδιες δύο λύσεις είχα και εγώ.

Αργότερα μέσα στη μέρα ή αύριο, θα κοιτάξω να φτιάξω μία ακόμη άσκηση.

[Mihalis_Lambrou]

Σας ευχαριστώ κύριε Νικόλα και Σωτήρη.

Ακριβώς τις ίδιες δύο λύσεις είχα και εγώ.

Αργότερα μέσα στη μέρα ή αύριο, θα κοιτάξω να φτιάξω μία ακόμη άσκηση.

.
Φώτη, θα σε παρότρυνα να έγραφες την λύση που είχας κατά νου για την άσκησή σου.

Η λύση που προτείνει ο Νίκος είναι απόλυτα σωστή αλλά χρησιμποιεί μία ιδιαίτερα δύσκολη απόδειξη ενός πολύ γενικότερου προβλήματος που ήταν ανοικτό για χρόνια. Βλέπε εδώ.

[Fotis34]

Σας ευχαριστώ κύριε Νικόλα και Σωτήρη.

Ακριβώς τις ίδιες δύο λύσεις είχα και εγώ.

Αργότερα μέσα στη μέρα ή αύριο, θα κοιτάξω να φτιάξω μία ακόμη άσκηση.

.
Φώτη, θα σε παρότρυνα να έγραφες την λύση που είχας κατά νου για την άσκησή σου.

Η λύση που προτείνει ο Νίκος είναι απόλυτα σωστή αλλά χρησιμποιεί μία ιδιαίτερα δύσκολη απόδειξη ενός πολύ γενικότερου προβλήματος που ήταν ανοικτό για χρόνια. Βλέπε εδώ.

Είχα ως λύσεις, τις λύσεις του Σωτήρη.