Αδύνατη στους ακεραίους

#1

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 (n^2 + 1) - n=m^2

είναι αδύνατη στους ακεραίους.

#2

socrates έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 24, 2025 12:05 am
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη στους ακεραίους.

.
Ως δευτεροβάθμια ως προς

γράφεται

. Άρα πρέπει να έχει διακρίνουσα τέλειο τετράγωνο, εδώ

8m^2-15=k^2

.

Έπεται ότι k^2+m^2=9m^2-15

και άρα $3|k^2+m^2, \,(*)$ αφού το

διαιρεί το δεξί μέλος. Από την (*)

έπεται (απλό και γνωστό) ότι 3|k

και

(υπόδειξη για την απόδειξη αυτού: Tα τέλεια τετράγωνα είναι είτε

ή

μόντουλο

).

Γράφουμε λοιπόν k=3K

και

οπότε η

δίνει

. Ισοδύναμα, αφού διαιρέσουμε με το

,

. Άτοπο αφού το

διαιρεί το αριστερό μέλος αλλά όχι το δεξί.