Τριάδες ακεραίων

#1

Να βρείτε όλες τις τριάδες ακεραίων (a,b,c)

για τις οποίες οι αριθμοί

$\displaystyle{\frac{a}{b+c}, \ \ \frac{b}{c+a}, \ \ \frac{c}{a+b}}$

είναι ακέραιοι.

#2

Αν κάποιος εκ των $\displaystyle{a,b,c}$ ισούται με μηδέν, π.χ. ο $\displaystyle{a}$ , θέλουμε να είναι ακέραιοι οι $\displaystyle{\frac{b}{c}, \frac{c}{b}}$ , οπότε $\displaystyle{|b|=|c|.}$

Αν $\displaystyle{abc\ne 0}$ , είναι $\displaystyle{\left|\frac{a}{b+c}\right|\geq 1, \left|\frac{b}{c+a}\right|\geq 1, \left|\frac{c}{a+b}\right|\geq 1}$ , οπότε

$\displaystyle{|a|\geq |b+c|, |b|\geq |c+a|, |c|\geq |a+b|.}$

Άρα $\displaystyle{a^2\geq b^2+c^2+2bc, b^2\geq c^2+a^2+2ca, c^2\geq a^2+b^2+2ab.}$

Με πρόσθεση αυτών λαμβάνουμε $\displaystyle{(a+b+c)^2\leq 0,}$ δηλαδή $\displaystyle{a+b+c=0.}$

Άρα οι λύσεις είναι οι τριάδες της μορφής $\displaystyle{(0,x,x)}, x\ne 0$ και οι μεταθέσεις τους, καθώς και οι $\displaystyle{(x,y,z)}$ με $\displaystyle{x+y+z=0}$ με ένα τουλάχιστον από τα $\displaystyle{x,y,z\ne0}$

#3

Τριάδες ακεραίων

Τριάδες ακεραίων

Re: Τριάδες ακεραίων

Re: Τριάδες ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση