Προβλήματα

eliaspapas · #1

Α) Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί n για τους οποίους ο αριθμός 2n + 1

διαιρεί τον αριθμό n^2 + n - 2

.
Β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε το άθροισμα δύο οποιονδήποτε από αυτούς να είναι δύναμη του

.
Γ) Αν ο

είναι περιττός ακέραιος να αποδειχθεί ότι ο αριθμός r^4 + 6r ^ 2 - 7

είναι πολλαπλάσιο του 128

.

big-pitsirikos · #2

eliaspapas έγραψε:Α) Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί n για τους οποίους ο αριθμός 2n + 1 διαιρεί τον αριθμό .
Β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε το άθροισμα δύο οποιονδήποτε από αυτούς να είναι δύναμη του 5.
Γ) Αν ο r είναι περιττός ακέραιος να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 128.

Α) Ισχύει

, και

. Άρα, $2n+1/(2n^2+2n-4)-(2n^2+n) \Leftrightarrow 2n+1/n-4$

$\Leftrightarrow 2n+1/2n-8 \Leftrightarrow 2n+1/(2n+1)-(2n-8) \Leftrightarrow 2n+1/9$ , και μετά όλα εύκολα, αφού $2n+1 = \textnormal{1 \gr{ ή -1 ή 3 ή-3 ή 9 ή -9}}$ .

Β) Έστω $a,b,c,d \in \mathbb{N^*}$ και $a+b=5^{x_1}, b+c=5^{x_2}, c+d=5^{x_3}, a+c=5^{x_4}, a+d=5^{x_5}, b+d=5^{x_6}$ .

Αφαιρούμε τις $a+b=5^{x_1}, b+c=5^{x_2},$ και έχουμε $a-c=5^{x_1}-5^{x_2}$ , και αφού $a+c=5^{x_4}$ , πρέπει 5/a,c

, και όμοια 5/a,b,c,d

.

Θέτουμε $a=5x_7,b=5x_8,c=5x_9,d=5x_{10}$ , και έχουμε $x_7+x_8=5^{x_1-1}$ κλπ.

Όμοια, $5/x_7,x_8,x_9,x_{10}$ .

Συνεχίζουμε έτσι και θα πάρουμε ότι τα a,b,c,d

διαιρούνται από κάθε δύναμη του

, άρα όλοι είναι

, άτοπο.

Άρα, δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί.

Γ) Αν r=2k+1

, τότε

. Έστω

.

$A=32l(2l+2) =64l(l+1)=64 \cdot 2m=128m$ , και το ζητούμενο έπεται.

#3

big-pitsirikos έγραψε: Γ) Αν , τότε . Έστω .

$A=32l(2l+2) =64l(l+1)=64 \cdot 2m=128m$ , και το ζητούμενο έπεται.

Καλησπέρα. Πιστεύω ότι η μετάβαση A=r^4+6r^2-7=16k(k+1)(k(k+1)+2)

χρειάζεται παραπάνω ανάλυση.

Μια παρατήρηση και μια παράκληση προς τον eliaspapas.

Το θέμα αυτό είναι εντελώς άσχετο με την ύλη της Γ΄ Γυμνασίου, (όπως και σχεδόνόλα τα υπόλοιπα θέματα που έχει αναρτήσει).

Παρακαλώ να επιλέγεις σωστά τον κατάλληλο φάκελο, γιατί έτσι ταλαιπωρούνται δίχως λόγο οι επιμελητές και οι συντονιστές, που υποχρεώνονται να μετακινούν τα θέματα στον κατάλληλο φάκελο.

edit: Ευχαριστώ τους Συντονιστές μας για την άμεση (εντός πενταλέπτου!) μετακίνηση του θέματος από τον φάκελο της Γ΄ Γυμνασίου στον κατάλληλο φάκελο.

big-pitsirikos · #4

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
big-pitsirikos έγραψε: Γ) Αν , τότε . Έστω .

$A=32l(2l+2) =64l(l+1)=64 \cdot 2m=128m$ , και το ζητούμενο έπεται.
Καλησπέρα. Πιστεύω ότι η μετάβαση χρειάζεται παραπάνω ανάλυση.

Πολύ σωστά, χρειάζεται περαιτέρω εξήγηση.

Είναι

A=r^4+6r^2-7=(r^2-1)(r^2+7)=((2k+1)^2-1)((2k+1)^2+7)=

Προβλήματα

Προβλήματα

Re: Προβλήματα

Re: Προβλήματα

Re: Προβλήματα

Μέλη σε σύνδεση