J708 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το θέμα J708 από το τέταρτο τεύχος των Reflections του 2025. Η ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το θέμα πρότεινε ο Nguyen Viet Hung από το Hanoi University of Science, Vietnam.

Σε τρίγωνο ABC

με έγκεντρο

αποδείξτε ότι:

α) $AI\cdot BI\cdot CI=4Rr^{2}$

β) $\dfrac{AI^{2} + BI^{2} + CI^{2} }{r}=\dfrac{b + c − a}{sinA}+ \dfrac{c+a-b}{sinB}+\dfrac{a+b-c}{sinC}$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 16, 2025 3:21 pm
Σας προτείνω το θέμα J708 από το τέταρτο τεύχος των Reflections του 2025. Η ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το θέμα πρότεινε ο Nguyen Viet Hung από το Hanoi University of Science, Vietnam.

Σε τρίγωνο με έγκεντρο αποδείξτε ότι:

α) $AI\cdot BI\cdot CI=4Rr^{2}$

β) $\dfrac{AI^{2} + BI^{2} + CI^{2} }{r}=\dfrac{b + c − a}{sinA}+ \dfrac{c+a-b}{sinB}+\dfrac{a+b-c}{sinC}$

Έστω

η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

α) $\displaystyle r = (s - a)\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{2}(b + c - a)\tan \frac{A}{2} = R\left( {\sin B + \sin C - \sin A} \right)\tan \frac{A}{2}$

$\displaystyle r = 4R\left( {\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}} \right)\tan \frac{A}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{r = 4R\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}}$ (1)

$\displaystyle AI \cdot BI \cdot CI = \frac{r}{{\sin \frac{A}{2}}} \cdot \frac{r}{{\sin \frac{B}{2}}} \cdot \frac{r}{{\sin \frac{C}{2}}} = \frac{{{r^3}}}{{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \cdot \sin \frac{C}{2}}}\mathop = \limits^{(1)} 4Rr^2$

β) το β' μέλος είναι ίσο με $\displaystyle 2R\left( {\frac{{\sin B + \sin C - \sin A}}{{\sin A}} + \frac{{\sin C + \sin A - \sin B}}{{\sin B}} + \frac{{\sin A + \sin B - \sin C}}{{\sin C}}} \right)$

$\displaystyle = 4R\left( {\frac{{\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}}}} \right)$

$\displaystyle \mathop = \limits^{(1)} \frac{{16{R^2}}}{r}\left( {{{\sin }^2}\frac{B}{2}{{\sin }^2}\frac{C}{2} + {{\sin }^2}\frac{C}{2}{{\sin }^2}\frac{A}{2} + {{\sin }^2}\frac{A}{2}{{\sin }^2}\frac{B}{2}} \right) = \frac{{A{I^2} + B{I^2} + C{I^2}}}{r}$

Το α) ερώτημα είναι γνωστή σχέση (Τριγωνομετρία Πανάκη 2ος τόμος).

J708 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

J708 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: J708 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση