Υπολογισμός του x

#1

Στο τετράπλευρο του σχήματος ισχύει AB=BC

και τα

παριστάνουν τα μέτρα των γωνιών που φαίνονται στα σχήμα. Να υπολογιστεί το

Ιστοσελίδα · #2

Καλημέρα!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Καλημέρα!

Μία τριγωνομετρική λύση (δεν κοίταξα την παραπομπή για να μην επηρεαστώ). Με νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα ABD, CBD

έχω:

$\displaystyle \frac{{\sin 3x}}{{\sin 4x}} = \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{\sin 5x}}{{\sin 8x}} = \frac{{\sin 5x}}{{2\sin 4x\cos 4x}} \Leftrightarrow$ κι επειδή $\sin x\ne0,$

$\displaystyle 2\sin 3x\cos 4x = \sin 5x \Leftrightarrow \sin 7x - \sin x = \sin 5x \Leftrightarrow \sin 7x - \sin 5x = \sin x \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2\sin x\cos 6x = \sin x \Leftrightarrow \cos 6x = \frac{1}{2} = \cos 60^\circ,$ Απ' όπου $\boxed{x=10^\circ}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 06, 2022 12:49 am
Στο τετράπλευρο του σχήματος ισχύει και τα παριστάνουν τα μέτρα των γωνιών που φαίνονται στα σχήμα. Να υπολογιστεί το

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

cool geometry · #5

Είναι απλούστατο το πρόβλημα για να λυθεί με τριγωνομετρία, ωστόσο δεν νομίζω ότι είναι κατάλληλο για Θαλή-Ευκλείδη Γυμνασίου. Είναι πολύ δύσκολο για τα σχολικά δεδομένα του Γυμνασίου!!

#6

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 06, 2022 11:21 am
Είναι απλούστατο το πρόβλημα για να λυθεί με τριγωνομετρία, ωστόσο δεν νομίζω ότι είναι κατάλληλο για Θαλή-Ευκλείδη Γυμνασίου. Είναι πολύ δύσκολο για τα σχολικά δεδομένα του Γυμνασίου!!

Δεν είναι Θαλή-Ευκλείδη Γυμνασίου. Ο φάκελος είναι προχωρημένο επίπεδο Juniors.
Θα ήθελα πάντως να δω μία απλούστατη γεωμετρική λύση στο απλούστατο αυτό πρόβλημα.

cool geometry · #7

Πρώτα από όλα δεν είπα ότι είναι απλούστατο πρόβλημα, αν θέλει κάποιος να το προσεγγίσει γεωμετρικά. Είπα ότι είναι πολύ απλό αν κάποιος το προσεγγίσει τριγωνομετρικά. Μία ωραία και εύκολη λύση είναι του Μιχάλη Τσουρακάκη !!

cool geometry · #8

Επί της ουσίας, η τριγωνομετρική είναι η πιο οφθαλμοφανής λύση, δηλαδή κάποιος που βιάζεται θα το λύσει τριγωνομετρικά, πιστεύω ότι δεν θα επιχειρήσει κανένας μαθητής γεωμετρική λύση κάτω από την πίεση του χρόνου.

#9

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 06, 2022 12:51 pm
Επί της ουσίας, η τριγωνομετρική είναι η πιο οφθαλμοφανής λύση, δηλαδή κάποιος που βιάζεται θα το λύσει τριγωνομετρικά, πιστεύω ότι δεν θα επιχειρήσει κανένας μαθητής γεωμετρική λύση κάτω από την πίεση του χρόνου.

Και το ΤΙΠΟΤΑ συνεχίζεεται

. Επιτέλους έλεος

cool geometry · #10

Ποιο τίποτα;; Τι επιτέλους έλεος;;; Δεν καταλαβαίνω τι γράφεις!! Εγώ απλά είπα ότι μέσα σε μία αίθουσα που διεξάγεται ένας διαγωνισμός, αν έπεφτε αυτό το θέμα, θα συνέφερε η σίγουρη τριγωνομετρική προσέγγιση.

cool geometry · #11

Οι εξεταστές του διαγωνισμού δεν νοιάζονται για το αν η λύση είναι με ευκλείδεια γεωμετρία ή με τριγωνομετρία, απλά διορθώνουν τη λύση που έχουν μπροστά τους. Για παράδειγμα, μία σωστή τριγωνομετρική λύση δεν θα πάρει λιγότερες μονάδες από μία σωστή γεωμετρική, επειδή η γεωμετρία είναι πιο όμορφη από την τριγωνομετρία.

#12

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 06, 2022 12:49 am
Στο τετράπλευρο του σχήματος ισχύει και τα παριστάνουν τα μέτρα των γωνιών που φαίνονται στα σχήμα. Να υπολογιστεί το

Κατασκευή και εξαναγκασμός

Έστω ευθύγραμμο τμήμα

που σχηματίζει με οριζόντια ευθεία γωνία

(σχήμα).

Θεωρώ ,

το συμμετρικό του

ως προς την οριζόντια ευθεία και μετά το

, συμμετρικό του

ως προς την ευθεία

.

Προφανώς οι κίτρινες γωνίες είναι από

κάθε μια και AB = BC

.

Φέρνω τώρα από το

ευθεία παράλληλη στην

και τέμνει την οριζόντια ευθεία

και την

στο

.

: Υπολογισμός του x_γεωμετρικά.png (32.41 KiB) Προβλήθηκε 3716 φορές

Τα τετράπλευρα : $ADFB,\,\,AFCB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASCB$ είναι χαρταετοί .

Επειδή $\theta = 90^\circ - 2x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\omega = 90^\circ - 3x$ , η

είναι διχοτόμος των $\widehat {SAB}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {SCB}$ .

Δηλαδή το ASCB

είναι παραλληλόγραμμο . Αναγκαστικά τώρα το

είναι περίκεντρο του $\vartriangle ADC$ και το $\vartriangle ADF$ ισόπλευρο . Έτσι $x = 10^\circ$ .

Δεκτή οποιαδήποτε απορία , δημόσια ή με προσωπικό μήνυμα .

#13

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 06, 2022 5:50 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 06, 2022 12:49 am
Στο τετράπλευρο του σχήματος ισχύει και τα παριστάνουν τα μέτρα των γωνιών που φαίνονται στα σχήμα. Να υπολογιστεί το
Κατασκευή και εξαναγκασμός

Έστω ευθύγραμμο τμήμα που σχηματίζει με οριζόντια ευθεία γωνία (σχήμα).

Θεωρώ , το συμμετρικό του ως προς την οριζόντια ευθεία και μετά το , συμμετρικό του ως προς την ευθεία .

Προφανώς οι κίτρινες γωνίες είναι από κάθε μια και .

Φέρνω τώρα από το ευθεία παράλληλη στην και τέμνει την οριζόντια ευθεία και την στο .
Υπολογισμός του x_γεωμετρικά.png
Τα τετράπλευρα : $ADFB,\,\,AFCB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASCB$ είναι χαρταετοί .

Επειδή $\theta = 90^\circ - 2x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\omega = 90^\circ - 3x$ , η είναι διχοτόμος των $\widehat {SAB}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {SCB}$ .

Δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο . Αναγκαστικά τώρα το είναι περίκεντρο του $\vartriangle ADC$ και το $\vartriangle ADF$ ισόπλευρο . Έτσι $x = 10^\circ$ .

Δεκτή οποιαδήποτε απορία , δημόσια ή με προσωπικό μήνυμα .

Καλημέρα Νίκο

Εχω την εντύπωση οτι χρειάζεται μια αναλυτικότερη τεκμηρίωση του λόγου του περικέντρου

Ευχαριστώ

#14

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 07, 2022 6:13 am

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 06, 2022 5:50 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 06, 2022 12:49 am
Στο τετράπλευρο του σχήματος ισχύει και τα παριστάνουν τα μέτρα των γωνιών που φαίνονται στα σχήμα. Να υπολογιστεί το
Κατασκευή και εξαναγκασμός

Έστω ευθύγραμμο τμήμα που σχηματίζει με οριζόντια ευθεία γωνία (σχήμα).

Θεωρώ , το συμμετρικό του ως προς την οριζόντια ευθεία και μετά το , συμμετρικό του ως προς την ευθεία .

Προφανώς οι κίτρινες γωνίες είναι από κάθε μια και .

Φέρνω τώρα από το ευθεία παράλληλη στην και τέμνει την οριζόντια ευθεία και την στο .
Υπολογισμός του x_γεωμετρικά.png
Τα τετράπλευρα : $ADFB,\,\,AFCB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASCB$ είναι χαρταετοί .

Επειδή $\theta = 90^\circ - 2x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\omega = 90^\circ - 3x$ , η είναι διχοτόμος των $\widehat {SAB}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {SCB}$ .

Δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο . Αναγκαστικά τώρα το είναι περίκεντρο του $\vartriangle ADC$ και το $\vartriangle ADF$ ισόπλευρο . Έτσι $x = 10^\circ$ .

Δεκτή οποιαδήποτε απορία , δημόσια ή με προσωπικό μήνυμα .
Καλημέρα Νίκο

Εχω την εντύπωση οτι χρειάζεται μια αναλυτικότερη τεκμηρίωση του λόγου του περικέντρου

Ευχαριστώ

Πιο αναλυτικά λοιπόν .

Η γωνία $\widehat {CDA} = y + 6x = 3x + 5x = 8x \Rightarrow \boxed{y = 2x}$ . Αλλά η

διχοτομεί την $\widehat {CSA} = 4x \Rightarrow \widehat {CSF} = \widehat {FSA} = 2x$ , κ έτσι $\boxed{\widehat {CSF} = y = 2x}$ .

: Υπολογισμός του x_γεωμετρικά_σχήμα ok.png (35.69 KiB) Προβλήθηκε 3609 φορές

Δηλαδή το τετράπλευρο SCFD

είναι εγγράψιμο ( εξ ου και γραμμοσκιασμένο) με τις χορδές $FC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FD$ ίσες κι αφού το $\vartriangle FCA$ ισοσκελές θα είναι : FA = FC = FD

.

Παρατηρήσεις :

1. Στο προηγούμενο σχήμα επέλεξα γωνία

διαφορετική των $10^\circ$ επίτηδες .

2. « Σένα τα λέω πεθερά για να τα ακούει η νύφη !»

Υπολογισμός του x

Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Re: Υπολογισμός του x

Μέλη σε σύνδεση