Ομοκυκλικά σημεία
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2
Ομοκυκλικά σημεία
Έστω τρίγωνο και έστω το έγκεντρο του. Έστω το σημείο τομής της με την . Έστω το έγκεντρο του τριγώνου και έστω , το έγκεντρο του . Έστω ότι η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο και έστω ότι η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο Να δειχθεί ότι το μέσο της ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ομοκυκλικά σημεία
Έστω το μέσον της .achilleas έγραψε: ↑Τετ Ιουν 15, 2022 6:19 pmΈστω τρίγωνο και έστω το έγκεντρο του. Έστω το σημείο τομής της με την . Έστω το έγκεντρο του τριγώνου και έστω , το έγκεντρο του . Έστω ότι η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο και έστω ότι η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο σημείο Να δειχθεί ότι το μέσο της ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .
Φιλικά,
Αχιλλέας
Ισχυρισμός 1: και .
Απόδειξη: Έστω . Τότε παρατηρούμε πως
Από το Λήμμα (δείτε στο τέλος της απόδειξης), αρκεί να δείξουμε πως
.
Είναι,
οπότε αφού , είναι
Αφού όμως
είναι τελικά
Επιπλέον,
,
και άρα
Συνεπώς αρκεί να αποδείξουμε πως
ή ισοδύναμα ότι
Αυτή όμως ισχύει διότι, από το Θεώρημα Διχοτόμων,
όπως θέλαμε
Ισχυρισμός 2: Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Απόδειξη: Είναι λόγω της εγγραψιμότητας των και ,
οπότε το είναι εγγράψιμο
Στο πρόβλημα, από τους Ισχυρισμούς 1 και 2 είναι
οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Λήμμα: Αν γωνίες ώστε και , τότε και .
Απόδειξη: Έστω η συνάρτηση , όπου , οπότε
καθώς .
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα, οπότε και 1-1, συνεπώς αφού έπεται ότι και συνεπακόλουθα και
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13334
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες