Ισότητα γωνιών

#1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $AB\ne AC$ . Έστω

το μέσο της

και έστω

το μέσο του τόξου

του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

που περιέχει το

. Έστω

το ίχνος της καθέτου από το

στην

και έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου AMC

και η ευθεία

τέμνονται στο $K (\ne C)$ . Να δειχθεί ότι $A\widehat{K}H=C\widehat{A}M$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ορέστης Λιγνός · #2

achilleas έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 15, 2022 6:17 pm
Δίνεται τρίγωνο με $AB\ne AC$ . Έστω το μέσο της και έστω το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που περιέχει το . Έστω το ίχνος της καθέτου από το στην και έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και η ευθεία τέμνονται στο $K (\ne C)$ . Να δειχθεί ότι $A\widehat{K}H=C\widehat{A}M$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Είναι,

$\angle HMN=\angle HCN=\angle ABN$

και

$\angle HNM=\angle HCM=\angle ANB,$

άρα τα τρίγωνα HNM

και

είναι όμοια. Οπότε,

$\dfrac{NH}{NA}=\dfrac{MH}{AB}$ (1).

Επίσης, $\angle ANK=\angle ABM$ και $\angle AKN=\angle AMB$ , άρα τα τρίγωνα AKN

και

είναι επίσης όμοια. Οπότε,

$\dfrac{AN}{NK}=\dfrac{AB}{BM}$ (2)

Πολλαπλασιάζοντας τις (1) και (2) κατά μέλη προκύπτει πως

$\dfrac{NH}{NK}=\dfrac{MH}{MB}=\dfrac{MH}{MC}$ . Επιπλέον, $\angle KNH=\angle HMC$ , καθώς το τετράπλευρο HNCM

είναι εγγράψιμο (είναι $\angle NHC=\angle NMC=90^\circ$ ). Έτσι, τα τρίγωνα KNH

και

είναι όμοια, οπότε

$\angle HKN=\angle HCM,$ και άρα

$\angle AKH=\angle AKC-\angle HKN=\angle AMB-\angle C=\angle CAM,$

όπως δηλαδή θέλαμε.

KARKAR · #3

: Αχ- Ορ.png (28.59 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

Ένα σχήμα για την απολαυστική άσκηση και λύση

Ισότητα γωνιών

Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση